Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região
em que
.
Passo 1
O enunciado dá a 1-forma
e pede para verificar que ela é uma diferencial exata em qualquer região
em que
.
Informações dadas (explicitadas):
- A componente de
é . - A componente de
é . - A região
não contém o ponto (ou seja, estamos em ou em um subconjunto desse conjunto).
O que é pedido:
- Mostrar que existe uma função escalar
tal que em qualquer região onde .
Passo 2
Conceito e estratégia (explicando passo a passo): uma 1-forma
é uma diferencial exata se existir
com
Um método prático para encontrar
é integrar
em relação a
(tratando
como constante), obtendo
com uma “constante” de integração que é uma função
, e depois determinar
exigindo que
. Vou aplicar esse método, mostrando cada conta com cuidado (regras do produto/cadeia quando surgirem).
Passo 3
Escrevendo explicitamente as funções:
Passo 4
Integrar
em relação a
. Quero calcular
Como
é tratado como constante, fatoro
:
Faço a substituição
. Então
. A integral fica
Voltando a
,
Portanto uma forma para
é
onde
é alguma função de
a ser determinada.
Passo 5
Determinar
exigindo
. Primeiro calcule
. A função
é
. Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando o produto
em relação a
:
- derivada de
é , multiplicada por dá ; - mais
multiplicado pela derivada de que é . Assim essa parte dá .
Somando e acrescentando
, obtemos
Coloco em um único denominador:
Mas precisamos ter
. Comparando, obtemos
Logo
, isto é,
é constante.
Passo 6
Concluímos que podemos escolher a constante (por exemplo zero) e uma função potencial válida é
definida para todos os
com
, isto é, em qualquer região
que não contém
. Portanto a 1-forma é a diferencial exata de
nessas regiões.
Observação complementar (intuitiva): as derivadas parciais de
e
são contínuas para
e satisfazem
; isso é um teste local que confirma que existe potencial localmente. Aqui, além disso, conseguimos um potencial explícito definido em toda
, então a exatidão vale em qualquer região
que não contenha
.
Resposta
A forma é exata em qualquer
com
; uma função potencial é
.