Verifique que a expressão dada, é uma diferencial exata em qualquer região
\mathbb{D} \subset \mathbb{R}^{2} em que (0,0) \notin \mathbb{D}
\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d x+\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} d y.

Passo 1

O enunciado dá a 1-forma
\frac{2 x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dx+\frac{y^{2}-x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dy
e pede para verificar que ela é uma diferencial exata em qualquer região \mathbb{D}\subset\mathbb{R}^2 em que (0,0)\notin\mathbb{D}.
Informações dadas (explicitadas):
  • A componente de dx é M(x,y)=\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
  • A componente de dy é N(x,y)=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.
  • A região \mathbb{D} não contém o ponto (0,0) (ou seja, estamos em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\} ou em um subconjunto desse conjunto).
O que é pedido:
  • Mostrar que existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que d\varphi=M\,dx+N\,dy em qualquer região \mathbb{D} onde (0,0)\notin\mathbb{D}.

Passo 2

Conceito e estratégia (explicando passo a passo): uma 1-forma M\,dx+N\,dy é uma diferencial exata se existir \varphi(x,y) com
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=N.
Um método prático para encontrar \varphi é integrar M em relação a x (tratando y como constante), obtendo \varphi(x,y) com uma “constante” de integração que é uma função C(y), e depois determinar C(y) exigindo que \partial\varphi/\partial y=N. Vou aplicar esse método, mostrando cada conta com cuidado (regras do produto/cadeia quando surgirem).

Passo 3

Escrevendo explicitamente as funções:
M(x,y)=\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2},\qquad N(x,y)=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.

Passo 4

Integrar M em relação a x. Quero calcular
\int M(x,y)\,dx=\int \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\,dx.
Como y é tratado como constante, fatoro y:
\int \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}\,dx = y\int \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\,dx.
Faço a substituição u=x^2+y^2. Então du=2x\,dx. A integral fica
y\int \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}\,dx = y\int \frac{1}{u^2}\,du = y\left(-\frac{1}{u}\right)+C(y).
Voltando a x,y,
\int M\,dx = -\frac{y}{x^2+y^2}+C(y).
Portanto uma forma para \varphi é
\varphi(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2}+C(y),
onde C(y) é alguma função de y a ser determinada.

Passo 5

Determinar C(y) exigindo \partial\varphi/\partial y=N. Primeiro calcule \partial\varphi/\partial y. A função \varphi é \varphi(x,y)=-y\cdot (x^2+y^2)^{-1}+C(y). Uso a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando o produto -y\cdot (x^2+y^2)^{-1} em relação a y:
  • derivada de -y é -1, multiplicada por (x^2+y^2)^{-1} - (x^2+y^2)^{-1};
  • mais -y multiplicado pela derivada de (x^2+y^2)^{-1} que é -1\cdot 2y\cdot (x^2+y^2)^{-2}. Assim essa parte dá -y)\cdot(-2y)(x^2+y^2)^{-2}=2y^2(x^2+y^2)^{-2}.
Somando e acrescentando C'(y), obtemos
\frac{\partial\varphi}{\partial y}= -\frac{1}{x^2+y^2} + \frac{2y^2}{(x^2+y^2)^2} + C'(y).
Coloco em um único denominador:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{ - (x^2+y^2) + 2y^2 }{(x^2+y^2)^2} + C'(y) = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} + C'(y).
Mas precisamos ter \partial\varphi/\partial y=N(x,y)=\dfrac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}. Comparando, obtemos
\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}+C'(y)=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.
Logo C'(y)=0, isto é, C(y) é constante.

Passo 6

Concluímos que podemos escolher a constante (por exemplo zero) e uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=-\frac{y}{x^2+y^2},
definida para todos os (x,y) com x^2+y^2\neq0, isto é, em qualquer região \mathbb{D} que não contém (0,0). Portanto a 1-forma é a diferencial exata de \varphi nessas regiões.
Observação complementar (intuitiva): as derivadas parciais de M e N são contínuas para (x,y)\neq(0,0) e satisfazem \partial M/\partial y=\partial N/\partial x; isso é um teste local que confirma que existe potencial localmente. Aqui, além disso, conseguimos um potencial explícito definido em toda \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}, então a exatidão vale em qualquer região \mathbb{D} que não contenha (0,0).

Resposta

A forma é exata em qualquer \mathbb{D} com (0,0)\notin\mathbb{D}; uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

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