Verifique o Teorema de Green para o campo
e a região dada;
A região retangular com vértices
;
e a região dada;
A região retangular com vértices
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Green para o campo
e a região retangular com vértices
.
Informações dadas:
- O campo vetorial:
com e . - A região
é o retângulo . - A fronteira
é a curva fechada que percorre esse retângulo no sentido positivo (anti-horário), que é o sentido usual para aplicar o Teorema de Green.
O que devemos mostrar:
- Calcular a integral de linha
. - Calcular a integral dupla
. - Verificar que esses dois valores coincidem (isso é o que o Teorema de Green afirma).
Passo 2
Recordando o enunciado do Teorema de Green (explicado com calma): se
é uma região plana limitada por uma curva fechada simples
orientada positivamente, e se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Aqui:
-
é a primeira componente do campo (multiplicando na integral de linha). -
é a segunda componente (multiplicando ). -
é a derivada parcial de em relação a . -
é a derivada parcial de em relação a .
Antes de aplicar, verificamos a hipótese de regularidade:
e
são polinômios, logo têm derivadas parciais contínuas no plano. Portanto o Teorema de Green vale para
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando da integral dupla:
Portanto o integrando é
Passo 4
Montar e calcular a integral dupla sobre o retângulo
:
Vamos calcular a integral interna em
primeiro:
Avaliaremos essa expressão nas duas extremidades:
- Em
: . - Em
: .
Subtraindo:
Agora integraremos em
:
Conclusão: a integral dupla é
:
Passo 5
Agora calculo a integral de linha diretamente para verificar (bom para treinar parametrizações). Parametrizo os quatro lados de
no sentido anti-horário:
-
Lado
(inferior): de a .
Parametrização:.
Então.
.
Integral em: -
Lado
(direito): de a .
Parametrização:.
.
.
Integral em: -
Lado
(superior): de a .
Parametrização:(observe a direção).
.
.
Integral em: (usei quee .) -
Lado
(esquerdo): de a .
Parametrização:.
.
.
Integral em:
Somando as contribuições dos quatro lados:
Passo 6
Comparando os resultados:
- A integral dupla deu
. - A integral de linha direta deu
.
Isto confirma a igualdade prevista pelo Teorema de Green para esse campo e essa região.