Verifique que a expressão
é uma diferencial exata numa região
, somente se, para qualquer curva fechada
a região limitada por
não contém a origem.
Passo 1
O enunciado nos dá a 1-forma
definida em uma região
(note que
não está definida no ponto
). Precisa-se verificar a equivalência:
“A forma
é uma diferencial exata em
se, e somente se, para qualquer curva fechada
a região limitada por
não contém a origem.”
Vou separar bem as hipóteses e o que devo provar:
- Informação dada: a expressão de
acima; ela não está definida em . - O que pedir: provar a equivalência entre (A)
ser exata em e (B) nenhuma curva fechada ter a origem no interior da região que ela limita.
Passo 2
Primeiro, lembrar as definições e fatos que vou usar (explicando devagar):
- Uma 1‑forma
é exata em se existe uma função tal que , ou seja
- Uma consequência simples: se
é exata então ela é fechada, isto é
em
. (Isto vale porque derivadas mistas de
são iguais.)
- Outra propriedade útil: numa região conectada, se
é fechada e, além disso, os integrais de sobre todas curvas fechadas são zero, então é exata (isto é a caracterização por independência de caminho / cohomologia de de Rham em dimensão 2). Em prática, mostra-se a existência de definindo
e verificando que isto não depende do caminho porque o integral sobre qualquer laço fechado é zero.
Passo 3
Calcular que
é fechada em
. Aqui
Calculemos as derivadas parciais (mostrando as contas):
Portanto
em todo ponto onde
. Conclusão:
é fechada em
. (Isto mostra que localmente existe potencial, mas não garante existência global se a região não for simplesmente conectada.)
Passo 4
Calcular o integral de
ao longo de uma curva que rodeia a origem uma vez: parâmetrize o círculo unitário
,
. Então
e
. Substituindo na forma:
Logo
Isto mostra um fato crucial: existe uma curva fechada que envolve a origem cujo integral de
é não nulo. Portanto, se
contém uma curva que encerra a origem, a integral ao longo dessa curva não é zero e, assim,
não pode ser exata em
(porque forma exata teria integral zero sobre todo laço).
Passo 5
Explicar a interpretação em termos do argumento (ângulo) e do número de volta (winding number). Em coordenadas polares
com
, a forma diferencial do ângulo é
Comparando, observa-se que
Ao percorrer uma curva fechada
em
, a integral
é justamente a variação total do ângulo
ao longo de
, que vale
vezes o número de voltas (winding number)
de
em torno da origem. Portanto, para qualquer curva fechada
Isto explica o cálculo anterior (para o círculo
obtivemos
) e dá a fórmula geral: o integral é nulo exatamente quando o winding number é zero, isto é, quando
não envolve a origem.
Passo 6
Provar a implicação “se
é exata em
então nenhuma curva fechada em
tem a origem no seu interior” (necessidade):
- Se
é exata então todo integral sobre curva fechada é zero (propriedade de formas exatas). - Mas se existisse
cuja região limitada contém a origem, então e pelo Passo 5 teríamos , contradição. - Assim, se
é exata nenhuma curva fechada em pode ter a origem no interior.
Passo 7
Provar a implicação inversa "se nenhuma curva fechada
tem a origem no seu interior, então
é exata em
" (suficiência):
- Hipótese: para toda curva fechada
tem-se , logo . - Como vimos no Passo 3,
é fechada em (supondo ou, mais fraco, que esteja bem definida em ). Seja . Defina para
onde a integral é tomada ao longo de qualquer curva em
de
até
. A hipótese de que todo laço tem integral zero garante que essa definição é independente do caminho (porque duas curvas entre
e
concatenadas formam um laço, cujo integral é zero). Logo
está bem definida.
- Finalmente, por construçăo,
(é a verificação padrão: derivada de na direção de qualquer vetor dá o valor indicado por ). Assim é exata em .
Passo 8
Resumo lógico final (ligando os pontos): mostramos que
- se existe uma curva fechada em
cujo interior contém a origem então (ex.: círculo) e, portanto, não pode ser exata; - se nenhuma curva fechada em
tem a origem no interior então todo integral sobre laço é zero e, combinando com o fato de ser fechada em , conclui-se que é exata em .
Portanto a equivalência pedida está estabelecida.
Resposta
A forma
é exata em
se, e somente se, para toda curva fechada
a região limitada por
não contém a origem.