Verifique que a expressão \frac{y d x}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x d y}{x^{2}+y^{2}} é uma diferencial exata numa região \mathbb{D} \subset R^{2}, somente se, para qualquer curva fechada \alpha \subset \mathbb{D} a região limitada por \alpha não contém a origem.

Passo 1

O enunciado nos dá a 1-forma
\omega=\frac{y\,dx}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x\,dy}{x^{2}+y^{2}}
definida em uma região \mathbb{D}\subset\mathbb{R}^{2} (note que \omega não está definida no ponto (0,0)). Precisa-se verificar a equivalência:
“A forma \omega é uma diferencial exata em \mathbb{D} se, e somente se, para qualquer curva fechada \alpha\subset\mathbb{D} a região limitada por \alpha não contém a origem.”
Vou separar bem as hipóteses e o que devo provar:
  • Informação dada: a expressão de \omega acima; ela não está definida em (0,0).
  • O que pedir: provar a equivalência entre (A) \omega ser exata em \mathbb{D} e (B) nenhuma curva fechada \alpha\subset\mathbb{D} ter a origem no interior da região que ela limita.

Passo 2

Primeiro, lembrar as definições e fatos que vou usar (explicando devagar):
  • Uma 1‑forma \omega=M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata em \mathbb{D} se existe uma função F:\mathbb{D}\to\mathbb{R} tal que dF=\omega, ou seja
\frac{\partial F}{\partial x}=M,\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N.
  • Uma consequência simples: se \omega é exata então ela é fechada, isto é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}
em \mathbb{D}. (Isto vale porque derivadas mistas de F são iguais.)
  • Outra propriedade útil: numa região conectada, se \omega é fechada e, além disso, os integrais de \omega sobre todas curvas fechadas são zero, então \omega é exata (isto é a caracterização por independência de caminho / cohomologia de de Rham em dimensão 2). Em prática, mostra-se a existência de F definindo
F(p)=\int_{p_{0}}^{p}\omega
e verificando que isto não depende do caminho porque o integral sobre qualquer laço fechado é zero.

Passo 3

Calcular que \omega é fechada em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}. Aqui
M(x,y)=\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Calculemos as derivadas parciais (mostrando as contas):
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{(x^{2}+y^{2})\cdot 1 - y\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}+y^{2}-2y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
\frac{\partial N}{\partial x} = -\frac{(x^{2}+y^{2})\cdot 1 - x\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = -\frac{x^{2}+y^{2}-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} em todo ponto onde x^{2}+y^{2}\neq0. Conclusão: \omega é fechada em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}. (Isto mostra que localmente existe potencial, mas não garante existência global se a região não for simplesmente conectada.)

Passo 4

Calcular o integral de \omega ao longo de uma curva que rodeia a origem uma vez: parâmetrize o círculo unitário \gamma(t)=(\cos t,\sin t), t\in[0,2\pi]. Então
dx=-\sin t\,dt,\qquad dy=\cos t\,dt,
e x^{2}+y^{2}=1. Substituindo na forma:
\omega(\gamma(t))=\frac{y\,dx-x\,dy}{x^{2}+y^{2}} = \sin t(-\sin t\,dt)-\cos t(\cos t\,dt) = -(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\,dt = -1\,dt.
Logo
\int_{\gamma}\omega=\int_{0}^{2\pi}-1\,dt=-2\pi\neq 0.
Isto mostra um fato crucial: existe uma curva fechada que envolve a origem cujo integral de \omega é não nulo. Portanto, se \mathbb{D} contém uma curva que encerra a origem, a integral ao longo dessa curva não é zero e, assim, \omega não pode ser exata em \mathbb{D} (porque forma exata teria integral zero sobre todo laço).

Passo 5

Explicar a interpretação em termos do argumento (ângulo) e do número de volta (winding number). Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, a forma diferencial do ângulo é
d\theta=\frac{-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}.
Comparando, observa-se que
\omega=-d\theta.
Ao percorrer uma curva fechada \alpha em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}, a integral \int_{\alpha}d\theta é justamente a variação total do ângulo \theta ao longo de \alpha, que vale 2\pi vezes o número de voltas (winding number) k de \alpha em torno da origem. Portanto, para qualquer curva fechada \alpha
\int_{\alpha}\omega = -\int_{\alpha}d\theta = -2\pi k(\alpha,0).
Isto explica o cálculo anterior (para o círculo k=1 obtivemos -2\pi) e dá a fórmula geral: o integral é nulo exatamente quando o winding number é zero, isto é, quando \alpha não envolve a origem.

Passo 6

Provar a implicação “se \omega é exata em \mathbb{D} então nenhuma curva fechada em \mathbb{D} tem a origem no seu interior” (necessidade):
  • Se \omega é exata então todo integral sobre curva fechada é zero (propriedade de formas exatas).
  • Mas se existisse \alpha\subset\mathbb{D} cuja região limitada contém a origem, então k(\alpha,0)\neq0 e pelo Passo 5 teríamos \int_{\alpha}\omega=-2\pi k(\alpha,0)\neq0, contradição.
  • Assim, se \omega é exata nenhuma curva fechada em \mathbb{D} pode ter a origem no interior.

Passo 7

Provar a implicação inversa "se nenhuma curva fechada \alpha\subset\mathbb{D} tem a origem no seu interior, então \omega é exata em \mathbb{D}" (suficiência):
  • Hipótese: para toda curva fechada \alpha\subset\mathbb{D} tem-se k(\alpha,0)=0, logo \int_{\alpha}\omega=-2\pi k(\alpha,0)=0.
  • Como vimos no Passo 3, \omega é fechada em \mathbb{D} (supondo \mathbb{D}\subset\mathbb{R}^{2}\setminus\{0\} ou, mais fraco, que \omega esteja bem definida em \mathbb{D}). Seja p_{0}\in\mathbb{D}. Defina para p\in\mathbb{D}
F(p)=\int_{p_{0}}^{p}\omega,
onde a integral é tomada ao longo de qualquer curva em \mathbb{D} de p_{0} até p. A hipótese de que todo laço tem integral zero garante que essa definição é independente do caminho (porque duas curvas entre p_{0} e p concatenadas formam um laço, cujo integral é zero). Logo F está bem definida.
  • Finalmente, por construçăo, dF=\omega (é a verificação padrão: derivada de F na direção de qualquer vetor dá o valor indicado por \omega). Assim \omega é exata em \mathbb{D}.

Passo 8

Resumo lógico final (ligando os pontos): mostramos que
  • se existe uma curva fechada em \mathbb{D} cujo interior contém a origem então \int_{\alpha}\omega\neq0 (ex.: círculo) e, portanto, \omega não pode ser exata;
  • se nenhuma curva fechada em \mathbb{D} tem a origem no interior então todo integral sobre laço é zero e, combinando com o fato de \omega ser fechada em \mathbb{R}^{2}\setminus\{0\}, conclui-se que \omega é exata em \mathbb{D}.
Portanto a equivalência pedida está estabelecida.

Resposta

A forma \displaystyle \omega=\frac{y\,dx}{x^{2}+y^{2}}-\frac{x\,dy}{x^{2}+y^{2}} é exata em \mathbb{D} se, e somente se, para toda curva fechada \alpha\subset\mathbb{D} a região limitada por \alpha não contém a origem.

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