Verifique se a expressão é um polinômio:
(x^2+x+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a expressão (x^2 + x + 1)^2 é um polinômio. O conteúdo aqui é definição de polinômio: uma soma finita de termos da forma ak x^k, com ak coeficientes reais e k inteiros não negativos.

Passo 2

Um polinômio em x deve ter somente soma de monômios com expoentes inteiros não negativos. Então precisamos escrever (x^2 + x + 1)^2 como soma de monômios e checar os expoentes.

Passo 3

Vamos expandir usando a identidade de quadrado de uma soma. Temos:
(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2,x^3 + 3,x^2 + 2,x + 1

Passo 4

Agora que está expandido, observamos que cada termo é da forma ak x^k com k = 4,3,2,1,0, todos inteiros não negativos, e ak reais. Isso satisfaz exatamente a definição de polinômio em x. Portanto a expressão é um polinômio.

Resposta

Sim. Ao expandir obtemos x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1, que é um polinômio de grau 4.

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