Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{x^{2}}{2}, para x \in(0,+\infty).
f(x):=\frac{x^{2}}{2}, para x \in(0,+\infty).
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e assume
fora desse intervalo. O que é pedido:
- Verificar se
é uma função de densidade de probabilidade. - Se for densidade, calcular a esperança e a variância justificando os cálculos.
Passo 2
Lembrete didático: para
ser uma densidade de probabilidade sobre
ela deve satisfazer duas condições:
- Não-negatividade:
para todo no domínio. - Normalização:
Explicação curta sobre integrais impróprias: quando o intervalo é infinito usamos limite de integrais em intervalos finitos. Se esse limite for infinito, a integral diverge e não se chega a 1.
Passo 3
Verificamos a não-negatividade: para
tem-se
, logo a condição (1) é satisfeita.
Agora a condição de normalização. Calculamos a integral imprópria
Resolvendo a integral em um intervalo finito e passando ao limite:
Agora fazemos
:
Como a integral diverge (vale infinito), a condição de normalização não é satisfeita.
Passo 4
Conclusão direta:
não é uma função de densidade de probabilidade sobre
porque não integra para
(integra para
). Portanto não se pode afirmar que existe uma variável aleatória com essa densidade tal como dada.
Didaticamente: mesmo que a função seja não-negativa, a massa total de probabilidade tem de ser
; aqui a “massa” é infinita, então não faz sentido usar
como densidade.
Passo 5
Para completar a justificativa: se tentássemos calcular a esperança formalmente (apesar de
não ser densidade), obteríamos uma integral que também diverge, mostrando que não há esperança finita. De fato,
E a mesma coisa ocorreria para a variância (a integral para
diverge), portanto não há variância finita.
Resposta
Esperança e variância: não definidas (divergem).