Verifique se as expressões a seguir são funções de densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). Para as expressōes que forem válidas como densidades, calcule a esperança e a variância, justificando seus cálculos.
f(x):=\frac{x^{2}}{2}, para x \in(0,+\infty).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x):=\frac{x^{2}}{2}\quad\text{para }x\in(0,+\infty),
e assume f(x)=0 fora desse intervalo. O que é pedido:
  • Verificar se f é uma função de densidade de probabilidade.
  • Se for densidade, calcular a esperança e a variância justificando os cálculos.

Passo 2

Lembrete didático: para f ser uma densidade de probabilidade sobre (0,\infty) ela deve satisfazer duas condições:
  1. Não-negatividade: \,f(x)\ge 0 para todo x no domínio.
  2. Normalização: \displaystyle\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Explicação curta sobre integrais impróprias: quando o intervalo é infinito usamos limite de integrais em intervalos finitos. Se esse limite for infinito, a integral diverge e não se chega a 1.

Passo 3

Verificamos a não-negatividade: para x>0 tem-se \dfrac{x^{2}}{2}>0, logo a condição (1) é satisfeita.
Agora a condição de normalização. Calculamos a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx.
Resolvendo a integral em um intervalo finito e passando ao limite:
\int_{0}^{b}\frac{x^{2}}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{b}x^{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{b^{3}}{3}=\frac{b^{3}}{6}.
Agora fazemos b\to\infty:
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\frac{b^{3}}{6}=\infty.
Como a integral diverge (vale infinito), a condição de normalização não é satisfeita.

Passo 4

Conclusão direta: f não é uma função de densidade de probabilidade sobre (0,\infty) porque não integra para 1 (integra para \infty). Portanto não se pode afirmar que existe uma variável aleatória com essa densidade tal como dada.
Didaticamente: mesmo que a função seja não-negativa, a massa total de probabilidade tem de ser 1; aqui a “massa” é infinita, então não faz sentido usar f como densidade.

Passo 5

Para completar a justificativa: se tentássemos calcular a esperança formalmente (apesar de f não ser densidade), obteríamos uma integral que também diverge, mostrando que não há esperança finita. De fato,
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x\,f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\frac{b^{4}}{8}=\infty.
E a mesma coisa ocorreria para a variância (a integral para \mathbb{E}[X^{2}] diverge), portanto não há variância finita.

Resposta

f não é função de densidade de probabilidade, pois \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{2}}{2}\,dx=\infty.
Esperança e variância: não definidas (divergem).

Exercícios relacionados