Verifique se F é uma primitiva de f:
F(x)=\ln (x-4)-\ln (x-3), f(x)=\frac{1}{x^{2}-7 x+12}

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se F é uma primitiva de f.
Dados fornecidos:
F(x)=\ln (x-4)-\ln (x-3)
f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-7x+12}
Vou checar se a derivada de F é igual a f no domínio apropriado.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicando devagar): dizer que F é uma primitiva de f significa que a derivada de F é igual a f em algum intervalo onde F está definida. Em símbolos: precisamos verificar se \,F'(x)=f(x)\, para todo x no domínio de F (ou em um intervalo onde ambas as funções façam sentido).

Passo 3

Regra que usamos para derivar logaritmo (aula rápida): se u(x) é uma função diferenciável, então
\frac{d}{dx}\ln(u(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui as funções dentro dos logaritmos são u_1(x)=x-4 e u_2(x)=x-3. Para ambas, u_1'(x)=1 e u_2'(x)=1. Logo a derivada de cada termo é simples.

Passo 4

Calculemos F'(x) passo a passo usando a regra anterior:
F'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x-4)-\frac{d}{dx}\ln(x-3)=\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}.

Passo 5

Agora simplificamos a diferença de frações. Colocamos num denominador comum (x-4)(x-3):
\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x-3}=\frac{(x-3)-(x-4)}{(x-4)(x-3)}.
No numerador: (x-3)-(x-4)=x-3-x+4=1. Assim
F'(x)=\frac{1}{(x-4)(x-3)}.

Passo 6

Lembrando que a expansão de (x-4)(x-3) é
(x-4)(x-3)=x^2-7x+12,
logo
F'(x)=\frac{1}{x^2-7x+12}.
Isso é exatamente a função f(x) dada.

Passo 7

Domínios — detalhe importante: F(x)=\ln(x-4)-\ln(x-3) exige que x-4>0 e x-3>0 simultaneamente, ou seja x>4. A função f está definida para x\neq 3,4. A igualdade F'(x)=f(x) que mostramos vale para todo x>4. Portanto F é uma primitiva de f no intervalo (4,\infty). Não podemos afirmar que F é primitiva em intervalos que contenham 3 ou 4 porque F não está definida aí.

Resposta

Sim. F'(x)=f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-7x+12} para todo x>4; portanto F é primitiva de f em (4,\infty).

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