Verifique se
é uma primitiva de
:
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se
é uma primitiva de
.
Dados fornecidos:
Vou checar se a derivada de é igual a
no domínio apropriado.
Dados fornecidos:
Vou checar se a derivada de
Passo 2
Definição que vamos usar (explicando devagar): dizer que
é uma primitiva de
significa que a derivada de
é igual a
em algum intervalo onde
está definida. Em símbolos: precisamos verificar se
para todo
no domínio de
(ou em um intervalo onde ambas as funções façam sentido).
Passo 3
Regra que usamos para derivar logaritmo (aula rápida): se
é uma função diferenciável, então
Aqui as funções dentro dos logaritmos são
e
. Para ambas,
e
. Logo a derivada de cada termo é simples.
Passo 4
Calculemos
passo a passo usando a regra anterior:
Passo 5
Agora simplificamos a diferença de frações. Colocamos num denominador comum
:
No numerador:
. Assim
Passo 6
Lembrando que a expansão de
é
logo
Isso é exatamente a função
dada.
Passo 7
Domínios — detalhe importante:
exige que
e
simultaneamente, ou seja
. A função
está definida para
. A igualdade
que mostramos vale para todo
. Portanto
é uma primitiva de
no intervalo
. Não podemos afirmar que
é primitiva em intervalos que contenham
ou
porque
não está definida aí.
Resposta
Sim.
para todo
; portanto
é primitiva de
em
.