1. Verifique se f(x)=x^{2} \sin \left(\frac{1}{x}\right) com f(0)=0 é derivável em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0 \end{cases}
é derivável em x=0. O conteúdo é definição de derivada pelo limite do quociente incremental.

Passo 2

Pela definição, a derivada de f em 0 é
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}.
Como f(0)=0, isso vira
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)}{h}.

Passo 3

Simplificando o quociente,
\frac{h^{2}\sin\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)}{h} =h\,\sin\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr).
Como \bigl|\sin(1/h)\bigr|\le1, temos
\bigl|h\,\sin\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)\bigr|\le|h|,
e portanto
\lim_{h\to0}h\,\sin\bigl(\tfrac{1}{h}\bigr)=0.

Passo 4

Como o limite do quociente incremental existe e vale 0, concluímos que f é derivável em 0 e
f'(0)=0.

Resposta

A função é derivável em x=0 e f'(0)=0.

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