Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e, em seguida, encontrar a função potencial
tal que
. Vamos usar o teste do rotacional (curl) para verificar a conservatividade e depois integrar as componentes de
para obter
.
Passo 2
Verificamos se
. Denotando
temos:
Como
segue que
em
. Logo,
é conservativo.
Passo 3
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo,
depende apenas de
:
.
Passo 5
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso mostra que
é constante.
Resposta
onde
é constante arbitrária.