Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y, z)=\left(y^{2} z+2 x z^{2}\right) \hat{i}+2 x y z \hat{j}+\left(x y^{2}+2 x^{2} z\right) \hat{k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z) = \bigl(y^{2}z + 2xz^{2}\bigr)\,\hat{\imath} \;+\; 2xyz\,\hat{\jmath} \;+\;\bigl(xy^{2} + 2x^{2}z\bigr)\,\hat{k}
é conservativo e, em seguida, encontrar a função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\vec{F}. Vamos usar o teste do rotacional (curl) para verificar a conservatividade e depois integrar as componentes de \vec{F} para obter \varphi.

Passo 2

Verificamos se \nabla \times \vec{F} = \vec{0}. Denotando
P = y^{2}z + 2xz^{2},\quad Q = 2xyz,\quad R = xy^{2} + 2x^{2}z,
temos:
\frac{\partial P}{\partial y} = 2yz,\quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2yz,
\frac{\partial P}{\partial z} = y^{2} + 4xz,\quad \frac{\partial R}{\partial x} = y^{2} + 4xz,
\frac{\partial Q}{\partial z} = 2xy,\quad \frac{\partial R}{\partial y} = 2xy.
Como
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},\quad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x},\quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y},
segue que \nabla\times\vec{F}=\vec{0} em \mathbb{R}^3. Logo, \vec{F} é conservativo.

Passo 3

Para encontrar \varphi, integramos P em relação a x:
\varphi(x,y,z) = \int P\,dx = \int\bigl(y^{2}z + 2xz^{2}\bigr)\,dx = xy^{2}z + x^{2}z^{2} + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 4

Derivamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2xyz + \frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=} 2xyz \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=0
Logo, g depende apenas de z: g(y,z)=h(z).

Passo 5

Derivamos \varphi em relação a z e igualamos a R:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = xy^{2} + 2x^{2}z + h'(z) \stackrel{!}{=} xy^{2} + 2x^{2}z \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=0.
Isso mostra que h(z) é constante.

Resposta

\varphi(x,y,z) = x y^{2} z + x^{2} z^{2} + C,
onde C é constante arbitrária.

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