Verifique que o campo vetorial dado é conservativo e encontre a sua função potencial associada, para:
\vec{F}(x, y)=\left(2 x y^{2}-y^{3}\right) \hat{i}+\left(2 x^{2} y-3 x y^{2}+2\right) \hat{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y) = \bigl(2xy^{2} - y^{3}\bigr)\,\hat{i} + \bigl(2x^{2}y - 3xy^{2} + 2\bigr)\,\hat{j}
e pede para mostrar que ele é conservativo e encontrar uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\nabla \varphi = \vec{F}.
Para isso vamos usar o critério \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} e depois integrar.

Passo 2

Denotando P(x,y)=2xy^{2}-y^{3} e Q(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}-y^{3}\bigr) = 4xy - 3y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y-3xy^{2}+2\bigr) = 4xy - 3y^{2}.
Como \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, o campo é conservativo num domínio simplesmente conexo.

Passo 3

Buscamos \varphi(x,y) tal que \partial\varphi/\partial x = P(x,y). Integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(2xy^{2} - y^{3}\bigr)\,dx = x^{2}y^{2} - x\,y^{3} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos \partial\varphi/\partial y = Q(x,y). Calculamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x^{2}y - 3xy^{2} + h'(y)
e igualamos a Q(x,y)=2x^{2}y-3xy^{2}+2. Assim
h'(y) = 2\quad\Longrightarrow\quad h(y) = 2y + C,
onde C é constante.

Passo 5

Substituindo h(y) em \varphi(x,y), obtemos a potencial
\varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - x\,y^{3} + 2y + C.

Resposta

\displaystyle \varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - x\,y^{3} + 2y + C, onde C é constante de integração.

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