Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
y=x y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2} \text { é } y=c x+c^{2} .é
Determine um valor de k para que y=k x^{2} seja uma solução singular para a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar que a família a um parâmetro y=cx+c^{2} (com c parâmetro real) é uma família de soluções da equação diferencial
y = x y' + (y')^{2}.
  • Determinar um valor de k tal que y=kx^{2} seja uma solução singular dessa equação diferencial.
Informações dadas relevantes:
  • A equação diferencial é \displaystyle y = x y' + (y')^{2}.
  • A família proposta é \displaystyle y=cx+c^{2}, onde c é o parâmetro.
  • Procura-se também uma solução singular da forma \displaystyle y=kx^{2}.

Passo 2

Verificação direta de que y=cx+c^{2} satisfaz a equação (substituição direta).
  • Calcule a derivada em relação a x (a constante aqui é c):
y'=\frac{d}{dx}(cx+c^{2})=c.
  • Substitua y e y' na equação \displaystyle y = x y' + (y')^{2}:
    à direita temos
x y' + (y')^{2} = x\cdot c + c^{2} = cx + c^{2},
que é exatamente y. Portanto, para todo c, a função \displaystyle y=cx+c^{2} satisfaz a equação diferencial. Concluímos que é realmente uma família a um parâmetro de soluções.

Passo 3

Explicação do método para achar a solução singular (intuição e procedimento).
  • A equação está na forma clássica de Clairaut:
y = x p + f(p),
onde p=y' e aqui f(p)=p^{2}. Para equações de Clairaut, a solução geral é a família reta \,y=cx+f\text{(c)}\, (já verificada) e existe possivelmente uma solução singular que é o envelope dessa família de retas.
  • Geometricamente, a solução singular é a curva tangente a todas as retas da família: para um ponto de tangência, pequenas variações do parâmetro c não mudam o valor de y — isso se traduz em anular a derivada de y em relação ao parâmetro c (mantendo x fixo) e eliminar c.

Passo 4

Cálculo do envelope eliminando o parâmetro c.
  • Considere a expressão da família vista como função de x e c:
y(x,c)=cx+c^{2}.
  • Derive em relação a c mantendo x fixo e imponha a condição de envelope \displaystyle \frac{\partial y}{\partial c}=0:
\frac{\partial y}{\partial c}=x+2c=0.
  • Da condição anterior obtemos
c=-\frac{x}{2}.

Passo 5

Substituição do valor de c da condição de envelope na expressão da família para obter a solução singular.
  • Substituindo c=-\dfrac{x}{2} em y=cx+c^{2}:
y=-\frac{x}{2}\cdot x+\left(-\frac{x}{2}\right)^{2} = -\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{4} = -\frac{x^{2}}{4}.
  • Assim a curva envelope (solução singular) é
y=-\frac{x^{2}}{4}.

Passo 6

Expressar a solução singular na forma pedida y=kx^{2} e identificar k; verificação direta de que é solução.
  • A solução singular encontrada é \displaystyle y=-\frac{x^{2}}{4}, que é da forma \displaystyle y=kx^{2} com
k=-\frac{1}{4}.
  • Verificação rápida: para y=kx^{2} temos y'=2kx. Com k=-\tfrac{1}{4} temos y'=-\tfrac{x}{2}. Substituindo na equação:
x y' + (y')^{2} = x\left(-\frac{x}{2}\right) + \left(-\frac{x}{2}\right)^{2} = -\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{4} = -\frac{x^{2}}{4} = y,
logo confere que é solução.

Resposta

A família \displaystyle y=cx+c^{2} é uma família de soluções da equação diferencial.
k=-\dfrac{1}{4}

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