Verifique que uma família a um parâmetro de soluções para
Determine um valor de
para que
seja uma solução singular para a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Verificar que a família a um parâmetro
(com parâmetro real) é uma família de soluções da equação diferencial
- Determinar um valor de
tal que seja uma solução singular dessa equação diferencial.
Informações dadas relevantes:
- A equação diferencial é
. - A família proposta é
, onde é o parâmetro. - Procura-se também uma solução singular da forma
.
Passo 2
Verificação direta de que
satisfaz a equação (substituição direta).
- Calcule a derivada em relação a
(a constante aqui é ):
- Substitua
e na equação :
à direita temos
que é exatamente
. Portanto, para todo
, a função
satisfaz a equação diferencial. Concluímos que é realmente uma família a um parâmetro de soluções.
Passo 3
Explicação do método para achar a solução singular (intuição e procedimento).
- A equação está na forma clássica de Clairaut:
onde
e aqui
. Para equações de Clairaut, a solução geral é a família reta
(já verificada) e existe possivelmente uma solução singular que é o envelope dessa família de retas.
- Geometricamente, a solução singular é a curva tangente a todas as retas da família: para um ponto de tangência, pequenas variações do parâmetro
não mudam o valor de — isso se traduz em anular a derivada de em relação ao parâmetro (mantendo fixo) e eliminar .
Passo 4
Cálculo do envelope eliminando o parâmetro
.
- Considere a expressão da família vista como função de
e :
- Derive em relação a
mantendo fixo e imponha a condição de envelope :
- Da condição anterior obtemos
Passo 5
Substituição do valor de
da condição de envelope na expressão da família para obter a solução singular.
- Substituindo
em :
- Assim a curva envelope (solução singular) é
Passo 6
Expressar a solução singular na forma pedida
e identificar
; verificação direta de que é solução.
- A solução singular encontrada é
, que é da forma com
- Verificação rápida: para
temos . Com temos . Substituindo na equação:
logo confere que é solução.
Resposta
A família
é uma família de soluções da equação diferencial.