Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a função que devemos testar:
- Equação diferencial:
- Função candidata:
O que se pede: verificar se, ao substituir a função dada na equação diferencial, a igualdade é satisfeita para todo
. Ou seja, calcular
e
, substituir e checar se o lado esquerdo fica
.
Passo 2
Recordando regras básicas de derivação que vamos usar:
- Regra do produto: se
e são funções, então - Derivada do logaritmo:
para . - Derivada de potência inteira:
Vou reescrever
de forma conveniente para aplicar a regra do produto:
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do produto com
e
.
Portanto
Simplificando os termos:
Fatorando
para ficar mais limpo:
Passo 4
Calcular
. Uso novamente regra do produto sobre
, com
e
.
Logo
Simplificando:
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e verificar se o resultado é zero.
Calcule cada termo:
Somando os três termos:
Agora somo coeficientes separadamente:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
:
Portanto
para todo
.
Passo 6
Interpretação final e conexão com a forma geral das soluções: a soma deu exatamente zero, então a função dada satisfaz a equação diferencial em todo o domínio
.
Além disso, nota-se que a função é uma combinação linear de
e
:
o que corresponde à forma típica da solução geral de uma equação de Euler-Cauchy com raiz dupla
(essa observação confirma que os coeficientes constantes seriam
e
se compararmos com a solução geral
).
Resposta
Sim. A função satisfaz a equação diferencial; corresponde a
e
.