Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=0 ; y=x^{2}+x^{2} \ln x, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a função que devemos testar:
  • Equação diferencial: x^{2}y''-3x y'+4y=0.
  • Função candidata: y=x^{2}+x^{2}\ln x,\qquad x>0.
O que se pede: verificar se, ao substituir a função dada na equação diferencial, a igualdade é satisfeita para todo x>0. Ou seja, calcular y' e y'', substituir e checar se o lado esquerdo fica 0.

Passo 2

Recordando regras básicas de derivação que vamos usar:
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então (u v)' = u'v + u v'.
  • Derivada do logaritmo: (\ln x)' = \dfrac{1}{x} para x>0.
  • Derivada de potência inteira: (x^{n})' = n x^{n-1}.
Vou reescrever y de forma conveniente para aplicar a regra do produto:
y = x^{2}\bigl(1+\ln x\bigr).

Passo 3

Calcular y' aplicando a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=1+\ln x.
  • u'(x)=2x.
  • v'(x)=(\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
Portanto
y' = u'v + u v' = 2x\bigl(1+\ln x\bigr) + x^{2}\cdot \dfrac{1}{x}.
Simplificando os termos:
y' = 2x + 2x\ln x + x = 3x + 2x\ln x.
Fatorando x para ficar mais limpo:
y' = x\bigl(3 + 2\ln x\bigr).

Passo 4

Calcular y''. Uso novamente regra do produto sobre y' = x\bigl(3+2\ln x\bigr), com u(x)=x e v(x)=3+2\ln x.
  • u'(x)=1.
  • v'(x)=2\cdot(\ln x)' = 2\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x}.
Logo
y'' = u'v + u v' = 1\cdot\bigl(3+2\ln x\bigr) + x\cdot \dfrac{2}{x}.
Simplificando:
y'' = 3 + 2\ln x + 2 = 5 + 2\ln x.

Passo 5

Substituir y, y' e y'' na equação diferencial e verificar se o resultado é zero.
Calcule cada termo:
x^{2}y'' = x^{2}\bigl(5 + 2\ln x\bigr) = 5x^{2} + 2x^{2}\ln x,
-3x y' = -3x\cdot x\bigl(3 + 2\ln x\bigr) = -3x^{2}(3 + 2\ln x) = -9x^{2} -6x^{2}\ln x,
4y = 4\bigl(x^{2} + x^{2}\ln x\bigr) = 4x^{2} + 4x^{2}\ln x.
Somando os três termos:
x^{2}y'' -3x y' +4y = (5x^{2} -9x^{2} +4x^{2}) + (2x^{2}\ln x -6x^{2}\ln x +4x^{2}\ln x).
Agora somo coeficientes separadamente:
  • Coeficiente de x^{2}: 5 - 9 + 4 = 0.
  • Coeficiente de x^{2}\ln x: 2 - 6 + 4 = 0.
Portanto
x^{2}y'' -3x y' +4y = 0 + 0 = 0
para todo x>0.

Passo 6

Interpretação final e conexão com a forma geral das soluções: a soma deu exatamente zero, então a função dada satisfaz a equação diferencial em todo o domínio x>0.
Além disso, nota-se que a função é uma combinação linear de x^{2} e x^{2}\ln x:
y = 1\cdot x^{2} + 1\cdot x^{2}\ln x,
o que corresponde à forma típica da solução geral de uma equação de Euler-Cauchy com raiz dupla r=2 (essa observação confirma que os coeficientes constantes seriam c_{1}=1 e c_{2}=1 se compararmos com a solução geral \;y=c_{1}x^{2}+c_{2}x^{2}\ln x).

Resposta

Sim. A função satisfaz a equação diferencial; corresponde a c_{1}=1 e c_{2}=1.

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