Verifique se as forças abaixo são conservativas ou não:
i) F=e^y+x i+e^y+z j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de forças
F(x,y,z)=e^x+y,i+e^y+z,j+0;k
é conservativo. O conteúdo envolve reconhecimento de campo conservativo via o teste do rotacional.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo (como R^3), um campo F=(P,Q,R) é conservativo se, e somente se,
nablatimesF=0

Passo 3

Aqui temos
P(x,y,z)=e^x+y, Q(x,y,z)=e^y+z, R(x,y,z)=0

Passo 4

Vamos calcular o primeiro componente do rotacional:
(nablatimesF)x =partial Rpartial y-partial Qpartial z =0-partialpartial zl(e^y+zr) =-e^y+zneq0

Passo 5

Como nablatimesF não é o vetor zero (já que (nablatimesF)x=-e^y+z), concluímos que F não é conservativo.

Resposta

O campo de forças não é conservativo.

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