A placa tem área 24 cm^2 e momento de inércia polar barJC=600 cm^4 em relação ao centroide C. Calcule os momentos de inércia polares JB e JD em relação aos pontos B e D, respectivamente, sabendo que JD=2 JB e d=5 cm.

Passo 1

O enunciado dá uma placa de área A=24,cm ^2 e momento polar em torno do centroide C igual a barJC=600,cm ^4. Queremos os momentos de inércia polares em torno de dois pontos B e D, sendo dado que
JD = 2,JB
e que a distância entre B e D é d=5,cm.
O conteúdo aqui é o teorema dos eixos paralelos para momento de inércia polar:
Jponto ;=; JC ;+; A,r^2,
onde r é a distância do centroide ao ponto considerado.

Passo 2

Denotemos por d1 a distância de C a B e por d2 a distância de C a D. Como B e D estão separados por d, temos
d2 = d1 + d = d1 + 5 cm
Pelo teorema dos eixos paralelos:
JB = JC + A,d1^2, JD = JC + A,d2^2

Passo 3

Usando a relação JD=2,JB,
JC + A,d2^2 ;=; 2l(JC + A,d1^2r)
Substituindo d2=d1+5 e JC=600, A=24:
600 + 24,(d1+5)^2 ;=; 2l(600 + 24,d1^2r)
Expandindo e simplificando:
600 + 24,(d1^2+10d1+25) = 1200 + 48,d1^2 ;Longrightarrow; 24,d1^2 + 240,d1 + 600 = 1200 + 48,d1^2
Longrightarrow; -24,d1^2 +240,d1 -600 = 0 ;Longrightarrow; d1^2 -10,d1 = 0 ;Longrightarrow; d1(d1-10)=0
As soluções são d1=0 ou d1=10,cm. Descartamos d1=0 (que colocaria B no próprio C, caso trivial) e ficamos com
d1 = 10 cm, d2 = d1 + 5 = 15 cm

Passo 4

Agora calculamos
JB = 600 + 24,(10)^2 = 600 + 24cdot100 = 600 + 2400 = 3000 cm^4,
JD = 600 + 24,(15)^2 = 600 + 24cdot225 = 600 + 5400 = 6000 cm^4

Resposta

JB = 3000,cm ^4 JD = 6000,cm ^4

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