Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
sendo
o conjunto
sendo
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a
-forma
é exata em
Para isso vamos usar o critério de exatidão: se
e
for simplesmente conexo (ou, melhor ainda, estrelado), então
é exata.
Passo 2
Calcular
e
.
Como
Como
temos
E como
vem
Logo
Passo 3
Mostrar que
é estrelado (e, portanto, simplesmente conexo).
Escolhemos o ponto . Dado qualquer
:
Escolhemos o ponto
- Se
, então o segmento mantém sempre negativo. - Se
, então no segmento para , e em temos .
Assim todo segmento dea fica em . Logo é estrelado em .
Passo 4
Como
é fechada (
) e
é estrelado, concluímos que
é exata em
.
Resposta
A forma diferencial é exata em
, pois satisfaz
e
é estrelado (logo simplesmente conexo).