Verifique se a forma diferencial é exata. Justifique:
F(x, y)=-yx^2+y^2 cdot d x+xx^2+y^2 cdot d y, (x, y) B
sendo B o conjunto (x, y) R^2: y>0 cup(x, y) R^2: x<0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a 1-forma
omega = M(x,y),dx + N(x,y),dy com M(x,y)=-yx^2+y^2,; N(x,y)=xx^2+y^2
é exata em
B = (x,y)inR^2 : y>0;cup;(x,y)inR^2 : x<0
Para isso vamos usar o critério de exatidão: se partial M/partial y = partial N/partial x e B for simplesmente conexo (ou, melhor ainda, estrelado), então omega é exata.

Passo 2

Calcular partial M/partial y e partial N/partial x.
Como
M(x,y)=-y,(x^2+y^2)^-1,
temos
partial Mpartial y = - (x^2+y^2)^-1 +(-y)l(-1r)(x^2+y^2)^-2,2y =- (x^2+y^2)+2y^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2
E como
N(x,y)=x,(x^2+y^2)^-1,
vem
partial Npartial x =(x^2+y^2)^-1-xcdot2x,(x^2+y^2)^-2 =x^2+y^2-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2-x^2(x^2+y^2)^2
Logo
partial Mpartial y =partial Npartial x em Bsetminus(0,0)

Passo 3

Mostrar que B é estrelado (e, portanto, simplesmente conexo).
Escolhemos o ponto P = (-1,0)in B. Dado qualquer (x,y)in B:
  • Se x < 0, então o segmento l(t x + (1-t)(-1),, t yr) mantém sempre x negativo.
  • Se y > 0, então no segmento y(t) = t y + (1-t) 0 > 0 para t > 0, e em t = 0 temos (-1,0)in B.
    Assim todo segmento de P a (x,y) fica em B. Logo B é estrelado em P.

Passo 4

Como omega é fechada ( partial M/partial y = partial N/partial x) e B é estrelado, concluímos que omega é exata em B.

Resposta

A forma diferencial é exata em B, pois satisfaz partial M/partial y = partial N/partial x e B é estrelado (logo simplesmente conexo).

Exercícios relacionados