Calcule a integral dupla,
Limitada pelo elipsoide x^2+z^2=9 e pelos planos x=0, y=0, z=0, x+2 y=2 no primeiro octante

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante, limitado pela “elipsoide” x^2+z^2=9 (na verdade um cilindro circular de raio 3 em x!z-plano) e pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+2y=2. Vamos calcular o volume via integral tripla de 1, ou seja
V=integral triplaV dV

Passo 2

Descrevemos o sólido V por coordenadas retangulares. Em cada ponto válido temos
0<= z<= raiz9 - x^2, 0<= y<= 2 - x2, 0<= x<= 2
Note que x só vai até 2 para manter y>=0.

Passo 3

O volume fica então
V=integralx=0^2!integraly=0^2-x2!integralz=0^raiz9 - x^2 1;dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^raiz9 - x^2dz =raiz9 - x^2
Logo
V=integral0^2integral0^2-x2raiz9 - x^2;dy,dx

Passo 5

Agora em y:
integraly=0^2-x2raiz9 - x^2,dy =raiz9 - x^2;l(2-x2r) =2-x2,raiz9 - x^2
Assim
V=12integral0^2(2-x),raiz9 - x^2;dx

Passo 6

Definimos
I=integral0^2(2-x),raiz9 - x^2;dx =2integral0^2raiz9 - x^2,dx -integral0^2xraiz9 - x^2,dx

Passo 7

  1. integral0^2raiz9 - x^2,dx =l[tfracx2raiz9 - x^2+tfrac92arcsin!l(tfracx3r)r]0^2 =raiz5+tfrac92arcsin!l(tfrac23r)
  2. integral0^2xraiz9 - x^2,dx =l[-tfrac13(9 - x^2)^3/2r]0^2 =9-tfrac5raiz53
    Então
I =2l(raiz5+tfrac92arcsintfrac23r) -l(9-tfrac5raiz53r) =11raiz53+9,arcsin!l(tfrac23r)-9

Passo 8

Voltando ao volume,
V=12,I =11raiz56 +92arcsin!l(tfrac23r) -92

Resposta

boxedV =11raiz56 +92arcsin!l(tfrac23r) -92

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