Verifique que \frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}.
w=y^{2} e^{x^{2}}+\frac{1}{x^{2} y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
w = y^{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{x^{2} y^{3}}
são iguais, isto é, mostrar que \displaystyle \frac{\partial^{2} w}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} w}{\partial y \partial x}. Vamos usar as regras de derivação de produtos, exponenciais e potências.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}.
Para y^{2}e^{x^{2}}, fixando y, tem-se
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}e^{x^{2}}\bigr) = y^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\bigr) = y^{2}\cdot(2x e^{x^{2}}) = 2x\,y^{2}e^{x^{2}}.
Para \displaystyle \frac{1}{x^{2}y^{3}} = x^{-2}y^{-3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{-2}y^{-3}\bigr) = y^{-3}\,\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = y^{-3}\cdot(-2x^{-3}) = -2x^{-3}y^{-3}.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial x} = 2x\,y^{2}e^{x^{2}} \;-\; 2x^{-3}y^{-3}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}w}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr).
Derivando \displaystyle 2x\,y^{2}e^{x^{2}} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,y^{2}e^{x^{2}}\bigr) = 2x\,\bigl(2y e^{x^{2}}\bigr) = 4x\,y e^{x^{2}}.
Derivando \displaystyle -2x^{-3}y^{-3} em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x^{-3}y^{-3}\bigr) = -2x^{-3}\cdot(-3y^{-4}) = 6x^{-3}y^{-4}.
Portanto,
\frac{\partial^{2}w}{\partial y \partial x} = 4x\,y e^{x^{2}} \;+\; 6x^{-3}y^{-4}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}.
Para y^{2}e^{x^{2}}, fixando x,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}e^{x^{2}}\bigr) = e^{x^{2}}\cdot(2y) = 2y\,e^{x^{2}}.
Para x^{-2}y^{-3},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{-2}y^{-3}\bigr) = x^{-2}\cdot(-3y^{-4}) = -3x^{-2}y^{-4}.
Logo,
\frac{\partial w}{\partial y} = 2y\,e^{x^{2}} \;-\; 3x^{-2}y^{-4}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial w}{\partial y}\Bigr).
Derivando \displaystyle 2y\,e^{x^{2}} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2y\,e^{x^{2}}\bigr) = 2y\cdot(2x e^{x^{2}}) = 4x\,y e^{x^{2}}.
Derivando \displaystyle -3x^{-2}y^{-4} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-3x^{-2}y^{-4}\bigr) = -3y^{-4}\cdot(-2x^{-3}) = 6x^{-3}y^{-4}.
Assim,
\frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y} = 4x\,y e^{x^{2}} \;+\; 6x^{-3}y^{-4}.

Passo 6

Comparando os resultados dos Passos 3 e 5, vemos que
\frac{\partial^{2}w}{\partial y \partial x} = 4x\,y e^{x^{2}} + 6x^{-3}y^{-4} = \frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y}.
Isso confirma a igualdade das derivadas parciais mistas.

Resposta

\frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2}w}{\partial y \partial x} = 4x\,y e^{x^{2}} + 6x^{-3}y^{-4}.

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