Verifique que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
são iguais, isto é, mostrar que
. Vamos usar as regras de derivação de produtos, exponenciais e potências.
Passo 2
Calcular
.
Para , fixando
, tem-se
Para
Para
,
Logo,
Passo 3
Calcular
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
:
Portanto,
Passo 4
Calcular
.
Para , fixando
,
Para
Para
,
Logo,
Passo 5
Calcular
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
:
Assim,
Passo 6
Comparando os resultados dos Passos 3 e 5, vemos que
Isso confirma a igualdade das derivadas parciais mistas.