Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(t, v)=\ln \frac{\sqrt{t+v}}{t-v}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
f(t,v)=\ln\frac{\sqrt{t+v}}{\,t-v\,}.
O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis, usando as regras de derivada de logaritmo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, simplificamos f usando propriedades de logaritmo:
f(t,v) =\ln\sqrt{t+v}-\ln(t-v) =\tfrac12\ln(t+v)-\ln(t-v).

Passo 3

Agora, derivamos em relação a t. Para \tfrac12\ln(t+v) vale
\frac{\partial}{\partial t}\bigl[\tfrac12\ln(t+v)\bigr] =\tfrac12\cdot\frac{1}{t+v}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(t+v) =\frac{1}{2(t+v)}.
Para -\ln(t-v) vale
\frac{\partial}{\partial t}\bigl[-\ln(t-v)\bigr] =-\frac{1}{t-v}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(t-v) =-\frac{1}{t-v}.
Logo,
f_{t}(t,v) =\frac{1}{2(t+v)}-\frac{1}{t-v}.

Passo 4

Agora, derivamos em relação a v. Para \tfrac12\ln(t+v) vale
\frac{\partial}{\partial v}\bigl[\tfrac12\ln(t+v)\bigr] =\tfrac12\cdot\frac{1}{t+v}\cdot\frac{\partial}{\partial v}(t+v) =\frac{1}{2(t+v)}.
Para -\ln(t-v) vale
\frac{\partial}{\partial v}\bigl[-\ln(t-v)\bigr] =-\frac{1}{t-v}\cdot\frac{\partial}{\partial v}(t-v) =-\frac{1}{t-v}\cdot(-1) =\frac{1}{t-v}.
Logo,
f_{v}(t,v) =\frac{1}{2(t+v)}+\frac{1}{t-v}.

Resposta

f_{t}(t,v) =\frac{1}{2(t+v)}-\frac{1}{t-v},
f_{v}(t,v) =\frac{1}{2(t+v)}+\frac{1}{t-v}.

Exercícios relacionados