Verifique se a função
é contínua em
, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a continuidade de
definida por
no ponto
. Para isso precisamos lembrar que, para ser contínua em
, a função deve estar definida em
e satisfazer
.
Passo 2
Observamos que, em
, o denominador
vale zero, portanto não está definido. Logo, do ponto de vista estrito,
não pode ser contínua em
porque não possui valor aí.
vale zero, portanto
Passo 3
Apesar disso, vamos calcular o limite de
quando
, para ver se ele existe e é único. Introduzimos coordenadas polares centradas em
:
com
e
.
Passo 4
Substituindo em
obtemos
Como
, temos
para qualquer
, ou seja, o limite existe e vale zero.
Passo 5
Concluímos que
é independente do caminho. Portanto, embora o limite exista, a função original não está definida em
e, por isso, não é contínua nesse ponto. No entanto, se definíssemos
, obteríamos continuidade.
Passo 6
Resposta
g não é contínua em (1,2) pois
não está definido. Entretanto,
, de modo que, definindo
, a função seria contínua.