Verifique se a função g é contínua em (1,2), em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=(x-1)^4(x-1)^2+(y-2)^2
Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade de
g:R^2toR definida por
g(x,y)=(x-1)^4(x-1)^2+(y-2)^2
no ponto (1,2). Para isso precisamos lembrar que, para ser contínua em (1,2), a função deve estar definida em (1,2) e satisfazer
.

Passo 2

Observamos que, em (x,y)=(1,2), o denominador
g(1,2)
vale zero, portanto g não está definido. Logo, do ponto de vista estrito, (1,2) não pode ser contínua em porque não possui valor aí.

Passo 3

Apesar disso, vamos calcular o limite de g(x,y) quando (x,y)to(1,2), para ver se ele existe e é único. Introduzimos coordenadas polares centradas em (1,2):
x-1=rcostheta, y-2=rsintheta,
com r>=0 e thetain[0,2pi).

Passo 4

Substituindo em g(x,y) obtemos
g(r,theta) =(rcostheta)^4(rcostheta)^2+(rsintheta)^2 =r^4cos^4thetar^2(cos^2theta+sin^2theta) = r^2cos^4theta
Como rto0, temos g(r,theta)to0 para qualquer theta, ou seja, o limite existe e vale zero.

Passo 5

Concluímos que
lim(x,y)to(1,2)g(x,y)=0
é independente do caminho. Portanto, embora o limite exista, a função original não está definida em (1,2) e, por isso, não é contínua nesse ponto. No entanto, se definíssemos
g(1,2)=0, obteríamos continuidade.

Passo 6

Resposta

g não é contínua em (1,2) pois g(1,2) não está definido. Entretanto,
g(1,2)=0, de modo que, definindo , a função seria contínua.

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