Resolva as integrais das funções racionais:
integral (x-8) d xx^3-4 x^2+4 x

Passo 1

Temos a integral integral x-8x^3-4x^2+4x,dx. O conteúdo é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que
x^3-4x^2+4x = xl(x^2-4x+4r) = x(x-2)^2

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
x-8x(x-2)^2 = Ax + Bx-2 + C(x-2)^2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)^2 e obtemos a identidade polinomial:
x-8 = A(x-2)^2 + Bx(x-2) + Cx

Passo 5

Expandindo o lado direito:
A(x^2-4x+4) + B(x^2-2x) + Cx = (A+B)x^2 + (-4A-2B+C)x + 4A

Passo 6

Comparando com x-8 = 0x^2 +1x -8, temos o sistema:
A + B = 0, -4A - 2B + C = 1, 4A = -8

Passo 7

Da terceira equação vem A=-2. Então B=-A=2 e C = 1 +2A = 1-4 = -3.

Passo 8

Substituindo de volta,
x-8x(x-2)^2 = -2x + 2x-2 - 3(x-2)^2

Passo 9

Agora integramos termo a termo:
integral -21x,dx = -2ln|x|, integral 21x-2,dx = 2ln|x-2|, integral -31(x-2)^2,dx = -3integral (x-2)^-2,dx = 3(x-2)^-1 = 3x-2

Resposta

-2\ln|x| + 2\ln|x-2| + \frac{3}{x-2} + C

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