Verifique se a função é contínua no ponto dado.
(e) f(z)=\operatorname{Arg}(z) ; z=-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(z)=\operatorname{Arg}(z)
no ponto z_{0}=-1. O conteúdo envolvido é continuidade de funções de variável complexa, usando definição de limite e o fato de que \operatorname{Arg}(z) é a argumentação principal com ramo em (-\pi,\pi] e corte na parte negativa do eixo real.

Passo 2

A função f é contínua em z_{0} se, e somente se,
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).
No caso, a definição de \operatorname{Arg}(z) atribui a cada z\neq0 um ângulo \theta\in(-\pi,\pi] tal que z=r e^{i\theta}. Há um corte de ramo na reta real negativa, onde o valor de \operatorname{Arg} salta de \pi para -\pi.

Passo 3

O valor de f em z_{0}=-1 é
f(-1)=\operatorname{Arg}(-1)=\pi,
pois na convenção principal o ângulo de -1 (que é 1\cdot e^{i\pi}) é \pi.

Passo 4

Vamos estudar o limite aproximando-se por caminhos acima e abaixo do eixo real:
- Ao aproximar por z=-1+i\epsilon com \epsilon>0 e \epsilon\to0, o argumento tende a
\lim_{\epsilon\to0^+}\operatorname{Arg}(-1+i\epsilon)=\pi.
- Ao aproximar por z=-1-i\epsilon com \epsilon>0 e \epsilon\to0, o argumento tende a
\lim_{\epsilon\to0^+}\operatorname{Arg}(-1-i\epsilon)=-\pi.
Como \pi\neq -\pi, o limite \lim_{z\to -1}\operatorname{Arg}(z) não existe.

Resposta

A função \operatorname{Arg}(z) não é contínua em z=-1.

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