Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=L \pm M
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências \bigl(a_n\bigr) e \bigl(b_n\bigr) que convergem, respectivamente, para L e M, e pede para mostrar que a soma (ou diferença) dessas sequências converge para a soma (ou diferença) dos limites. O conteúdo utilizado será a definição de convergência de sequência e a desigualdade triangular.
Passo 2
Prova para a soma. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n + b_n\bigr) = L + M.
Pela definição de convergência, para cada \varepsilon>0 existem N_1 e N_2 tais que, para todo n\ge N_1,
\bigl|a_n - L\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2},
e para todo n\ge N_2,
\bigl|b_n - M\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2}.
Seja N = \max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N, temos simultaneamente as duas estimativas acima e, usando a desigualdade triangular,