Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=L \pm M

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências \bigl(a_n\bigr) e \bigl(b_n\bigr) que convergem, respectivamente, para L e M, e pede para mostrar que a soma (ou diferença) dessas sequências converge para a soma (ou diferença) dos limites. O conteúdo utilizado será a definição de convergência de sequência e a desigualdade triangular.

Passo 2

Prova para a soma. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n + b_n\bigr) = L + M.
Pela definição de convergência, para cada \varepsilon>0 existem N_1 e N_2 tais que, para todo n\ge N_1,
\bigl|a_n - L\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2},
e para todo n\ge N_2,
\bigl|b_n - M\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2}.
Seja N = \max\{N_1,N_2\}. Então, para todo n\ge N, temos simultaneamente as duas estimativas acima e, usando a desigualdade triangular,
\bigl|(a_n + b_n) - (L + M)\bigr| = \bigl|(a_n - L) + (b_n - M)\bigr| \le \bigl|a_n - L\bigr| + \bigl|b_n - M\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Isso mostra que a_n + b_n converge para L + M.

Passo 3

Prova para a diferença. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n - b_n\bigr) = L - M.
Pela mesma ideia, para cada \varepsilon>0 existem N_1 e N_2 tais que, para todo n\ge \max\{N_1,N_2\},
\bigl|a_n - L\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2}, \quad \bigl|b_n - M\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2}.
Então
\bigl|(a_n - b_n) - (L - M)\bigr| = \bigl|(a_n - L) - (b_n - M)\bigr| \le \bigl|a_n - L\bigr| + \bigl|b_n - M\bigr| < \tfrac{\varepsilon}{2} + \tfrac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
e segue que a_n - b_n converge para L - M.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\bigl(a_n \pm b_n\bigr) = L \pm M.

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