Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(c \cdot a_{n}\right)=c \cdot L

Passo 1

O enunciado diz que a sequência (a_n) converge para L e que c é uma constante. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty} \bigl(c\,a_n\bigr) = c\,L.
Para isso, vamos aplicar a definição de convergência de sequência (ε–N).

Passo 2

Por definição, (a_n)\to L significa que, para todo \epsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - L\bigr| < \epsilon.

Passo 3

Primeiro, note que se c=0 então c\,a_n=0 e c\,L=0 para todo n. Nesse caso (c\,a_n) é a sequência constante 0, que converge de imediato para 0=c\,L.

Passo 4

Agora suponha c\neq 0. Seja dado \epsilon>0. Como (a_n)\to L, existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - L\bigr| < \frac{\epsilon}{\lvert c\rvert}.
Multiplicando ambos os lados por \lvert c\rvert, obtemos para todo n\ge N:
\bigl|c\,a_n - c\,L\bigr| = \lvert c\rvert\,\bigl|a_n - L\bigr| < \lvert c\rvert \cdot \frac{\epsilon}{\lvert c\rvert} = \epsilon.
Isso mostra que, segundo a definição, \lim_{n\to\infty} (c\,a_n) = c\,L.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} \bigl(c\,a_n\bigr) = c\,L.

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