Suponha que as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) convirjam, respectivamente, para L e M e que c seja uma constante. Então: \lim _{n \rightarrow \infty}\left(c \cdot a_{n}\right)=c \cdot L
Passo 1
O enunciado diz que a sequência (a_n) converge para L e que c é uma constante. Queremos mostrar que
\lim_{n\to\infty} \bigl(c\,a_n\bigr) = c\,L.
Para isso, vamos aplicar a definição de convergência de sequência (ε–N).
Passo 2
Por definição, (a_n)\to L significa que, para todo \epsilon>0, existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_n - L\bigr| < \epsilon.
Passo 3
Primeiro, note que se c=0 então c\,a_n=0 e c\,L=0 para todo n. Nesse caso (c\,a_n) é a sequência constante 0, que converge de imediato para 0=c\,L.
Passo 4
Agora suponha c\neq 0. Seja dado \epsilon>0. Como (a_n)\to L, existe N tal que, para todo n\ge N,