Verifique se a função é contínua no ponto dado.
(c) f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{z^{3}-1}{z-1}, & |z| \neq 1 \\\\ 3, & |z|=1\end{array} ; z_{0}=1\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= \begin{cases} \dfrac{z^{3}-1}{z-1}, & |z|\neq1,\\[6pt] 3, & |z|=1, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em z_{0}=1. O conceito de continuidade em \mathbb{C} é o mesmo de \mathbb{R}: f é contínua em z_{0} se e somente se
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).]

Passo 2

Para z\neq1 (e em particular sempre que |z|\neq1), podemos fatorar o numerador:
\frac{z^{3}-1}{z-1} =\frac{(z-1)(z^{2}+z+1)}{z-1} =z^{2}+z+1.

Passo 3

Aproximando z\to1 por pontos com |z|\neq1, usamos a forma simplificada:
\lim_{z\to1}\frac{z^{3}-1}{z-1} =\lim_{z\to1}(z^{2}+z+1) =1^{2}+1+1 =3.

Passo 4

Aproximando z\to1 por pontos com |z|=1 (ou seja, exatamente na segunda “ramificação”), temos sempre f(z)=3. Logo qualquer sequência em |z|=1 que tenda a 1 dá também valor de f igual a 3.

Passo 5

Como tanto pela ramificação |z|\neq1 quanto pela ramificação |z|=1 o valor de f(z) tende a 3, concluímos
\lim_{z\to1}f(z)=3.
E como por definição f(1)=3, segue que
\lim_{z\to1}f(z)=f(1),
ou seja, f é contínua em z_{0}=1.

Resposta

A função f é contínua em z_{0}=1.

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