Verifique se a função é contínua no ponto dado.
(c) f(z)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{z^{3}-1}{z-1}, & |z| \neq 1 \\\\ 3, & |z|=1\end{array} ; z_{0}=1\right.
e pede para verificar se f é contínua em z_{0}=1. O conceito de continuidade em \mathbb{C} é o mesmo de \mathbb{R}: f é contínua em z_{0} se e somente se
\lim_{z\to z_{0}}f(z)=f(z_{0}).]
Passo 2
Para z\neq1 (e em particular sempre que |z|\neq1), podemos fatorar o numerador:
Aproximando z\to1 por pontos com |z|=1 (ou seja, exatamente na segunda “ramificação”), temos sempre f(z)=3. Logo qualquer sequência em |z|=1 que tenda a 1 dá também valor de f igual a 3.
Passo 5
Como tanto pela ramificação |z|\neq1 quanto pela ramificação |z|=1 o valor de f(z) tende a 3, concluímos