Verifique se a funçăo f é continua no ponto especificado. Justifique sua resposta e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em cada caso:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, \text { se } x<1 \\\\ 5-2 x, \text { se } x \geq 1\end{array}\right. no ponto x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x+2, &\text{se }x<1,\\\\ 5-2x, &\text{se }x\ge1, \end{cases}
e pede para verificar a continuidade em x=1. Para isso vamos usar a definição: f é contínua em x=1 se
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda: como para x<1 vale f(x)=x+2, temos
\lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}(x+2)=1+2=3.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita: para x\ge1 vale f(x)=5-2x, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(5-2x)=5-2\cdot1=3.

Passo 4

Agora avaliamos o valor da função em x=1. Como o ramo x\ge1 inclui o ponto,
f(1)=5-2\cdot1=3.

Passo 5

Como
\lim_{x\to1^-}f(x)=3,\quad \lim_{x\to1^+}f(x)=3 \quad\text{e}\quad f(1)=3,
concluímos que \lim_{x\to1}f(x)=f(1), portanto f é contínua em x=1.

Passo 6

Para esboçar o gráfico de f:
Desenhe a reta y=x+2 para x<1, terminando em um ponto aberto em (1,3).
Desenhe a reta y=5-2x para x\ge1, começando em um ponto fechado em (1,3).
As duas retas se encontram em (1,3), confirmando a continuidade naquele ponto.

Resposta

A função f é contínua em x=1.

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