Verifique se a funçăo f é continua no ponto especificado. Justifique sua resposta e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em cada caso:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}3 x+1, \text { se } x<0 \\\ \cos (x), \text { se } x \geq 0\end{array}\right. no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} 3x+1, & x<0,\\\ \cos(x), & x\ge0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0 e, em seguida, esboçar o seu gráfico. Para isso, vamos calcular \lim_{x\to0^-}f(x), \lim_{x\to0^+}f(x) e o valor de f(0).

Passo 2

Cálculo do limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(3x+1) =3\cdot0+1 =1.

Passo 3

Cálculo do limite pela direita e valor da função:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}\cos(x) =\cos(0) =1,
e
f(0)=\cos(0)=1.

Passo 4

Como \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \lim_{x\to0^+}f(x)=1
e f(0)=1, os limites laterais coincidem e igualam o valor da função. Logo, f é contínua em x=0.

Passo 5

Esboço do gráfico: para x<0 desenhe a reta y=3x+1 até chegar a (0,1), marcando esse ponto com círculo aberto (já que x=0 não pertence a esse ramo). Para x\ge0 desenhe a curva y=\cos(x), iniciando em (0,1) com um ponto preenchido (pois f(0)=1) e seguindo a forma oscilatória de \cos(x) para valores positivos de x.

Resposta

A função f é contínua em x=0.

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