Verifique se a funçăo f é continua no ponto especificado. Justifique sua resposta e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em cada caso:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x+1, \text { se } x<0 \\\\ 1, \quad \text { se } x=0 \\\ e^{x}, \quad \text { se } x>0\end{array}\right. no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} 2x+1,& x<0,\\\\ 1,& x=0,\\\ e^x,& x>0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0 e esboçar seu gráfico. O conteúdo da matéria é definição de continuidade em ponto para função peça-por-peça: precisamos calcular os limites lateral esquerdo e direito em 0 e comparar com f(0).

Passo 2

Calculamos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(2x+1) =2\cdot0+1 =1.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}e^x =e^0 =1.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =1 \quad\text{e}\quad f(0)=1,
os limites lateral esquerdo e direito existem, são iguais entre si e coincidem com f(0). Logo, f é contínua em x=0.

Passo 5

Esboço do gráfico em torno de x=0:
Para x<0, é a reta y=2x+1, que chega em (0,1) mas com círculo aberto. Em x=0 há um ponto sólido em (0,1). Para x>0, é a curva y=e^x, que também passa por (0,1) com círculo aberto.

Resposta

A função f é contínua em x=0. O gráfico tem a reta y=2x+1 para x<0, um ponto preenchido em (0,1) e a curva y=e^x para x>0, todos se encontrando em (0,1).

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