Verifique se a funçăo f é continua no ponto especificado. Justifique sua resposta e esboce o gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x}) em cada caso:
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x-1, \text { se } x<0 \\\\ -1, \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ \frac{1}{x-1}, \text { se } x>1\end{array}\right. nos pontos x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x-1, & x<0,\\\\ -1, & 0\le x\le1,\\\ \dfrac1{x-1}, & x>1, \end{cases}
e pede para verificar continuidade em x=0 e em x=1. Para isso vamos usar o critério de continuidade:
\text{f é contínua em }a\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).éí

Passo 2

Verificação em x=0.
  1. Limite pela esquerda: para x<0 vale f(x)=x-1, logo
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x-1)=0-1=-1.
  1. Limite pela direita: para 0<x\le1 vale f(x)=-1, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=-1.
  1. Valor da função: como 0 está no segundo ramo,
f(0)=-1.
Como os três são iguais -1, concluímos que f é contínua em x=0.

Passo 3

Verificação em x=1.
  1. Limite pela esquerda: para 0\le x<1 vale f(x)=-1, logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=-1.
  1. Limite pela direita: para x>1 vale f(x)=\dfrac1{x-1}. Quando x\to1^+, o denominador (x-1)\to0^+ e
\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty
(não existe limite finito).
3. Valor da função: f(1)=-1.
Como o limite pela direita diverge, não há igualdade de limites e de valor, logo f é descontínua em x=1.

Passo 4

Esboço do gráfico de f:
  • Para x<0: reta de equação y=x-1, ponto de quebra em x=0 com círculo aberto em (0,-1).
  • Para 0\le x\le1: segmento horizontal em y=-1, com ponto fechado em (0,-1) e em (1,-1).
  • Para x>1: ramo de hipérbole y=\tfrac1{x-1}, com assíntota vertical x=1.
Em conjunto, temos continuidade na passagem do primeiro ao segundo ramo em x=0, e descontinuidade por assíntota em x=1.

Resposta

f é contínua em x=0 e descontínua em x=1.

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