Verifique se a função é contínua no ponto especificado
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x+2, & x \geq-2 \\\\ -2 x, & x<-2\end{array} \quad\right. No ponto x=-2

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases}3x+2, & x\ge -2,\\[4pt] -2x, & x< -2,\end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto x=-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função tem duas fórmulas, uma válida para x\ge -2 e outra para x< -2.
  • O ponto onde se quer testar continuidade é x=-2.
  • O valor de f em x=-2 deve ser obtido usando a fórmula correspondente à condição x\ge -2.]

Passo 2

Definição prática usada aqui: a função f é contínua em a se e somente se os três números abaixo existem e são iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x),\qquad \lim_{x\to a^+} f(x),\qquad f(a).
Mais precisamente, é preciso que
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Explicando de forma leve: \lim_{x\to a^-} f(x) é o valor ao qual f(x) se aproxima quando x vem pela esquerda de a; \lim_{x\to a^+} f(x) é o valor quando x vem pela direita. Para funções definidas por expressões simples (como polinômios ou afins), o limite ao se aproximar de um ponto é apenas substituir o x por esse ponto na expressão correspondente à região de aproximação.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em x=-2. Para x<-2 a função vale f(x)=-2x. Como x\mapsto -2x é uma função linear (continua), o limite pela esquerda é dado por substituir x=-2:
\lim_{x\to -2^-} f(x)=\lim_{x\to -2^-} (-2x) = -2\cdot(-2)=4.

Passo 4

Calcular o limite pela direita em x=-2. Para x\ge -2 a função vale f(x)=3x+2. Novamente, como x\mapsto 3x+2 é linear, o limite pela direita é substituir x=-2:
\lim_{x\to -2^+} f(x)=\lim_{x\to -2^+} (3x+2) = 3\cdot(-2)+2=-6+2=-4.

Passo 5

Calcular o valor da função em x=-2. Como a definição da função usa a fórmula 3x+2 para x\ge -2, temos
f(-2)=3\cdot(-2)+2=-4.
Ou seja, o valor da função no ponto é -4.

Passo 6

Comparar os três números necessários para continuidade:
\lim_{x\to -2^-} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to -2^+} f(x)=-4,\qquad f(-2)=-4.
Observações:
  • Os limites laterais são diferentes ( 4\neq -4), portanto \lim_{x\to -2} f(x) não existe.
  • Mesmo que \lim_{x\to -2^+} f(x)=f(-2), a desigualdade entre as duas direções impede continuidade.
    Conclusão: a condição de continuidade falha porque os limites laterais não coincidem. Trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump discontinuity). Força e foco: isso é exatamente o tipo de verificação que costumam pedir em prova — calcular os dois limites laterais e comparar com f(a).

Resposta

A função não é contínua em x=-2.

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