Dada a função f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3 x-2, & x>-1 \\\\ 3, & x=-1 \\\\ 5-a x, & x<-1\end{array}\right. Determine a \in \mathbb{R} para que exista \lim _{x \rightarrow-1} f(x).
Passo 1
O enunciado dá a função por partes e pede para encontrar a\in\mathbb{R}\) de modo que exista \(\lim_{x\to-1} f(x)\). As informações fornecidas são:
\[f(x)=\begin{cases} 3x-2, & x>-1,\\[4pt] 3, & x=-1,\\[4pt] 5-ax, & x<-1. \end{cases}
O que se pede: determinar o(s) valor(es) de a\] para que o limite de \(f(x) quando x se aproxima de -1 exista.]
Passo 2
Entender o que significa “o limite existe” perto de um ponto. Para \lim_{x\to-1} f(x) existir é necessário e suficiente que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to-1^-} f(x)=\lim_{x\to-1^+} f(x).
Aqui \lim_{x\to-1^+} f(x) é o limite quando x se aproxima de -1 vindo pela direita (ou seja, valores de x>-1), e \lim_{x\to-1^-} f(x) é o limite quando x se aproxima de -1 vindo pela esquerda (valores de x<-1). A ideia: o valor de f exatamente em x=-1 (que é 3) não influencia a existência do limite — o limite depende apenas dos valores arbitrariamente próximos a -1 à direita e à esquerda.
Passo 3
Calcular o limite pela direita usando a expressão para x>-1. A função à direita é a reta 3x-2, que é contínua, então o limite ao aproximar x de -1 é simplesmente a substituição x=-1:
Agora calcule passo a passo: 3\cdot(-1)=-3 e -3-2=-5. Portanto
\lim_{x\to-1^+} f(x)=-5.
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda usando a expressão para x<-1. A função à esquerda é 5-ax. Novamente é uma função linear (portanto contínua) em torno de -1, então
Resolver a equação passo a passo: subtrai 5 dos dois lados,
a=-5-5,
ou seja
a=-10.
Passo 6
Verificação rápida (checagem): com a=-10 temos \lim_{x\to-1^-} f(x)=5+(-10)=-5 e \lim_{x\to-1^+} f(x)=-5, ou seja os dois limites laterais coincidem em -5, portanto \lim_{x\to-1} f(x) existe. Observação final: o valor f(-1)=3 permanece diferente do limite; portanto a função não é contínua em -1, mas o limite existe.