Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x. f(x)=\left\{\begin{array}{r}x+1, \text { para } x \leq 2 \\\\ 2, \text { para } x>2\end{array}\right. em x=2
Lembra do conceito de continuidade em um ponto: a função f é contínua em a se, e somente se,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Para que \lim_{x\to a} f(x) exista é preciso que os dois limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
Portanto, para testar continuidade em \,x=2\, vamos calcular: \lim_{x\to2^-} f(x), \lim_{x\to2^+} f(x) e f(2), e comparar.
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda. Para x<2 (apenas à esquerda de 2) a definição da função é f(x)=x+1. Como x+1 é uma função polinomial simples, o limite quando x\to2 é obtido substituindo x=2:
\lim_{x\to2^-} f(x)=\lim_{x\to2^-} (x+1)=2+1=3.
Passo 4
Calcular o limite pela direita. Para x>2 (à direita de 2) a função é constante f(x)=2. O limite lateral de uma função constante é a própria constante:
\lim_{x\to2^+} f(x)=\lim_{x\to2^+} 2=2.
Passo 5
Calcular o valor da função em x=2. Como a definição usada em x=2 é a do ramo x\le2, temos
f(2)=2+1=3.
Passo 6
Comparar os valores encontrados: \lim_{x\to2^-} f(x)=3, \lim_{x\to2^+} f(x)=2 e f(2)=3.
Como os limites laterais não são iguais (3\neq2), o limite \lim_{x\to2} f(x) não existe. Logo a condição de continuidade \lim_{x\to2} f(x)=f(2) falha. Conclusão: a função não é contínua em \,x=2. Observação adicional: trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (os dois limites laterais são finitos, mas diferentes).