Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de
.
, em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua em
. Informação dada: a expressão explícita de
(uma função racional) e o ponto a ser testado,
.
Passo 2
Lembrete didático (definição de continuidade num ponto, do jeitinho que cai na prova):
Uma função é contínua em
se, e somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas:
Uma função
-
está definida (ou seja, pertence ao domínio de ); -
existe (limite finito); -
.
Se qualquer uma dessas falhar,
não é contínua em
. Primeiro passo prático: verificar se
pertence ao domínio.
Passo 3
Encontrar o domínio de
. A função é uma razão, então é preciso que o denominador seja não nulo:
Resolver:
Portanto o denominador é zero em
, logo
NÃO pertence ao domínio de
. Conclusão imediata:
não está definida.
Passo 4
Aplicando a definição: como
não está definida, a condição 1 da continuidade já falha. Assim, sem nem precisar de mais contas,
não é contínua em
.
Mas para compreender bem o tipo de descontinuidade (útil na prova), vamos analisar o comportamento do limite ao aproximar .
Mas para compreender bem o tipo de descontinuidade (útil na prova), vamos analisar o comportamento do limite ao aproximar
Passo 5
Calcular o limite lateral esquerdo e direito para ver o que acontece com
quando
.
Primeiro observe que a numerador em tende a
Primeiro observe que a numerador em
ou seja, a parte de cima tende a
, que é não nula. O problema vem do denominador que tende a zero. Agora o sinal do denominador determina o sinal do quociente perto de
:
- Se
(valores ligeiramente menores que ), então . Logo o quociente tem sinal negativo e módulo cresce sem limite, então
- Se
(valores ligeiramente maiores que ), então . Logo o quociente tem sinal positivo e módulo cresce sem limite, então
Como as limites laterais são diferentes (um vai para
e o outro para
), o limite bilateral
não existe (nem finito, nem infinito de forma única). Isso confirma de forma mais completa que a condição 2 da definição de continuidade também falha.
Passo 6
Conclusão e interpretação didática:
não pertence ao domínio, e a função tem uma descontinuidade do tipo infinita (assim chamada descontinuidade essencial ou assíntota vertical) em
. Dica para a prova: para funções racionais como
, primeiro verifique onde
; se
também for zero naquele ponto pode haver uma descontinuidade removível (cancele o fator comum); se
não for zero então é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).
Resposta
Não;
não é contínua em
.