Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
f(x)=\frac{2 x+1}{3 x-6}, em x=2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=\frac{2x+1}{3x-6}
é contínua em x=2. Informação dada: a expressão explícita de f (uma função racional) e o ponto a ser testado, x=2.

Passo 2

Lembrete didático (definição de continuidade num ponto, do jeitinho que cai na prova):
Uma função f é contínua em x=a se, e somente se, as três condições seguintes forem satisfeitas:
  1. f(a) está definida (ou seja, a pertence ao domínio de f);
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) existe (limite finito);
  3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Se qualquer uma dessas falhar, f não é contínua em a. Primeiro passo prático: verificar se x=2 pertence ao domínio.

Passo 3

Encontrar o domínio de f. A função é uma razão, então é preciso que o denominador seja não nulo:
3x-6 \neq 0.
Resolver:
3x-6=0 \quad\Rightarrow\quad 3x=6 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Portanto o denominador é zero em x=2, logo x=2 NÃO pertence ao domínio de f. Conclusão imediata: f(2) não está definida.

Passo 4

Aplicando a definição: como f(2) não está definida, a condição 1 da continuidade já falha. Assim, sem nem precisar de mais contas, f não é contínua em x=2.
Mas para compreender bem o tipo de descontinuidade (útil na prova), vamos analisar o comportamento do limite ao aproximar 2.

Passo 5

Calcular o limite lateral esquerdo e direito para ver o que acontece com f(x) quando x\to2.
Primeiro observe que a numerador em x=2 tende a
2\cdot 2+1=5,
ou seja, a parte de cima tende a 5, que é não nula. O problema vem do denominador que tende a zero. Agora o sinal do denominador determina o sinal do quociente perto de 2:
  • Se x\to2^- (valores ligeiramente menores que 2), então 3x-6<0. Logo o quociente tem sinal negativo e módulo cresce sem limite, então
\lim_{x\to2^-} \frac{2x+1}{3x-6} = -\infty.
  • Se x\to2^+ (valores ligeiramente maiores que 2), então 3x-6>0. Logo o quociente tem sinal positivo e módulo cresce sem limite, então
\lim_{x\to2^+} \frac{2x+1}{3x-6} = +\infty.
Como as limites laterais são diferentes (um vai para -\infty e o outro para +\infty), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to2} f(x) não existe (nem finito, nem infinito de forma única). Isso confirma de forma mais completa que a condição 2 da definição de continuidade também falha.

Passo 6

Conclusão e interpretação didática: x=2 não pertence ao domínio, e a função tem uma descontinuidade do tipo infinita (assim chamada descontinuidade essencial ou assíntota vertical) em x=2. Dica para a prova: para funções racionais como \dfrac{P(x)}{Q(x)}, primeiro verifique onde Q(x)=0; se P também for zero naquele ponto pode haver uma descontinuidade removível (cancele o fator comum); se P não for zero então é uma descontinuidade infinita (assíntota vertical).

Resposta

Não; f não é contínua em x=2.

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