Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de x.
f(x)=5 x^{2}-5 x+1, em x=2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=5x^{2}-5x+1 e pede para verificar se ela é contínua em x=2.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=5x^{2}-5x+1.
  • O ponto onde verificar a continuidade é x=2.
    A pergunta explícita é: “A função é contínua em x=2?” (ou seja, verificar se \lim_{x\to2}f(x)=f(2)).

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (aulas rápidas e úteis).
Uma função f é contínua em x=a se e somente se os três números abaixo existirem e forem iguais:
  1. \lim_{x\to a} f(x) (o limite quando x se aproxima de a),
  2. f(a) (o valor da função em a),
  3. e \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
    Na prova, normalmente você calcula o limite \lim_{x\to a} f(x) e o valor f(a). Se são iguais, a função é contínua em a.

Passo 3

Propriedades de limite que vamos usar (explicação didática).
  • Limite de soma e constante: \lim_{x\to a}\big(g(x)+h(x)\big)=\lim_{x\to a}g(x)+\lim_{x\to a}h(x).
  • Limite com constante multiplicativa: \lim_{x\to a}c\cdot g(x)=c\cdot\lim_{x\to a}g(x) para constante c.
  • Limite de produto e potência: \lim_{x\to a}\big(g(x)h(x)\big)=\lim_{x\to a}g(x)\cdot\lim_{x\to a}h(x), e \lim_{x\to a}x^{n}=a^{n} para inteiro n\ge 1.
    Essas regras permitem calcular limites de polinômios simplesmente substituindo x=a (desde que as sublimites existam, o que ocorre para polinômios).

Passo 4

Calcular \lim_{x\to2}f(x) usando as propriedades.
\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}\big(5x^{2}-5x+1\big)
Usando linearidade dos limites:
\lim_{x\to2}f(x)=5\lim_{x\to2}x^{2}-5\lim_{x\to2}x+\lim_{x\to2}1.
Agora aplicando \lim_{x\to2}x^{2}=2^{2}, \lim_{x\to2}x=2 e \lim_{x\to2}1=1, obtemos:
\lim_{x\to2}f(x)=5\cdot 2^{2}-5\cdot 2+1.

Passo 5

Avaliar o número encontrado passo a passo (contas claras).
5\cdot 2^{2}=5\cdot 4=20,
-5\cdot 2=-10,
então
\lim_{x\to2}f(x)=20-10+1=11.

Passo 6

Calcular f(2) por substituição direta (definição da função).
f(2)=5\cdot 2^{2}-5\cdot 2+1=20-10+1=11.

Passo 7

Comparar limite e valor da função e concluir.
Encontramos \lim_{x\to2}f(x)=11 e f(2)=11. Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto, pela definição a função é contínua em x=2.

Passo 8

Comentário didático final e atalho prático (dica de prova).
Polinômios são formados por somas e produtos de x e constantes; por essas propriedades de limite/s continuidade, todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Então, alternativamente, bastaria lembrar essa propriedade geral para concluir rapidamente que f é contínua em x=2 (e em qualquer x). Força aí — essa é daquelas que vale a pena decorar!

Resposta

A função é contínua em x=2.
f(2)=11.

Exercícios relacionados