Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de
.
, em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela é contínua em
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é
. - O ponto onde verificar a continuidade é
.
A pergunta explícita é: “A função é contínua em?” (ou seja, verificar se ).
Passo 2
Definição prática de continuidade num ponto (aulas rápidas e úteis).
Uma função é contínua em
se e somente se os três números abaixo existirem e forem iguais:
Uma função
-
(o limite quando se aproxima de ), -
(o valor da função em ), - e
.
Na prova, normalmente você calcula o limitee o valor . Se são iguais, a função é contínua em .
Passo 3
Propriedades de limite que vamos usar (explicação didática).
- Limite de soma e constante:
. - Limite com constante multiplicativa:
para constante . - Limite de produto e potência:
, e para inteiro .
Essas regras permitem calcular limites de polinômios simplesmente substituindo(desde que as sublimites existam, o que ocorre para polinômios).
Passo 4
Calcular
usando as propriedades.
Usando linearidade dos limites:
Agora aplicando
,
e
, obtemos:
Passo 5
Avaliar o número encontrado passo a passo (contas claras).
então
Passo 6
Calcular
por substituição direta (definição da função).
Passo 7
Comparar limite e valor da função e concluir.
Encontramos e
. Como o limite existe e é igual ao valor da função no ponto, pela definição a função é contínua em
.
Encontramos
Passo 8
Comentário didático final e atalho prático (dica de prova).
Polinômios são formados por somas e produtos de e constantes; por essas propriedades de limite/s continuidade, todo polinômio é contínuo em todo ponto real. Então, alternativamente, bastaria lembrar essa propriedade geral para concluir rapidamente que
é contínua em
(e em qualquer
). Força aí — essa é daquelas que vale a pena decorar!
Polinômios são formados por somas e produtos de
Resposta
A função é contínua em
.
.