3 ㅇ) Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{l} a(x-b)^{2}+c, \text { se } x<b \\\ a(x-b)+c, \text { se } x \geq b \end{array}\right.
sendo que a, b e c são números reais.
a) \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow b^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow b} f(x)
d) f(b)

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} a(x-b)^{2}+c, & \text{se } x<b,\\[4pt] a(x-b)+c, & \text{se } x\ge b, \end{cases}
onde a,b,c são números reais. O que ele pede, em itens, é:
a) \displaystyle \lim_{x\to b^{-}} f(x) (limite pela esquerda);
b) \displaystyle \lim_{x\to b^{+}} f(x) (limite pela direita);
c) \displaystyle \lim_{x\to b} f(x) (limite bilateral);
d) f(b) (valor da função em x=b).]

Passo 2

Entendendo o que é o limite pela esquerda: \displaystyle \lim_{x\to b^{-}} f(x) significa que investigamos os valores de f(x) quando x se aproxima de b vindo de números menores que b. Nessa região (para x<b) a expressão que dá f é
f(x)=a(x-b)^{2}+c.
Para calcular o limite, observe que (x-b)^{2} é sempre não negativo e, quando x\to b, a quantidade (x-b)\to 0, então (x-b)^{2}\to 0. Assim, aplicando isso na fórmula,
\lim_{x\to b^{-}} f(x)=\lim_{x\to b^{-}}\bigl(a(x-b)^{2}+c\bigr)=a\cdot 0 + c = c.
(Explicação técnica curta: a função g(x)=a(x-b)^{2}+c é uma combinação de polinômios e constantes, portanto contínua; para funções contínuas o limite ao aproximar o ponto é o próprio valor no ponto, que é c.)

Passo 3

Agora o limite pela direita: \displaystyle \lim_{x\to b^{+}} f(x) significa aproximar b por valores x\ge b. Nessa região a expressão é
f(x)=a(x-b)+c.
Essa é uma função linear em x, também contínua. Ao aproximar x de b,
\lim_{x\to b^{+}} f(x)=\lim_{x\to b^{+}}\bigl(a(x-b)+c\bigr)=a\cdot 0 + c = c.
Portanto o limite pela direita também dá c.

Passo 4

Como os limites lateral esquerdo e direito existem e são iguais (ambos iguais a c), o limite bilateral existe e é igual a esse valor comum. Ou seja,
\lim_{x\to b} f(x)=c.
(Lembrete conceptual: o limite \lim_{x\to b} f(x) existe se, e somente se, \lim_{x\to b^-} f(x) e \lim_{x\to b^+} f(x) existirem e forem iguais.)

Passo 5

Agora o valor da função em x=b. Pela definição por partes, a segunda linha vale para x\ge b, ou seja, inclui o ponto x=b. Logo
f(b)=a(b-b)+c=a\cdot 0 + c = c.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida (para fixar): tanto as expressões à esquerda quanto à direita “convergem” para c quando x\to b, e a definição da função em b também dá c. Isso significa que a função é contínua em x=b. Bom trabalho — já nasceu mais um ponto de continuidade na sua coleção!

Resposta

(a) \displaystyle \lim_{x\to b^{-}} f(x)=c
(b) \displaystyle \lim_{x\to b^{+}} f(x)=c
(c) \displaystyle \lim_{x\to b} f(x)=c
(d) f(b)=c

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