3 ㅇ) Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
sendo que
e
são números reais.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a função definida por partes
onde
são números reais. O que ele pede, em itens, é:
a) (limite pela esquerda);
b) (limite pela direita);
c) (limite bilateral);
d) (valor da função em
).]
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Entendendo o que é o limite pela esquerda:
significa que investigamos os valores de
quando
se aproxima de
vindo de números menores que
. Nessa região (para
) a expressão que dá
é
Para calcular o limite, observe que
é sempre não negativo e, quando
, a quantidade
, então
. Assim, aplicando isso na fórmula,
(Explicação técnica curta: a função
é uma combinação de polinômios e constantes, portanto contínua; para funções contínuas o limite ao aproximar o ponto é o próprio valor no ponto, que é
.)
Passo 3
Agora o limite pela direita:
significa aproximar
por valores
. Nessa região a expressão é
Essa é uma função linear em
, também contínua. Ao aproximar
de
,
Portanto o limite pela direita também dá
.
Passo 4
Como os limites lateral esquerdo e direito existem e são iguais (ambos iguais a
), o limite bilateral existe e é igual a esse valor comum. Ou seja,
(Lembrete conceptual: o limite
existe se, e somente se,
e
existirem e forem iguais.)
Passo 5
Agora o valor da função em
. Pela definição por partes, a segunda linha vale para
, ou seja, inclui o ponto
. Logo
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida (para fixar): tanto as expressões à esquerda quanto à direita “convergem” para
quando
, e a definição da função em
também dá
. Isso significa que a função é contínua em
. Bom trabalho — já nasceu mais um ponto de continuidade na sua coleção!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)