1,0 Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas. f(x, y) = x / raiz(4 - x^2 - y^2)

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos determinar o conjunto domínio da função e fazer um esboço desse conjunto. O conteúdo envolvido aqui é funções de duas variáveis e o que precisamos para resolver é entender quais valores de e tornam a função válida (ou seja, bem definida).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os pares para os quais a função está definida. No caso de , temos uma fração e uma raiz quadrada. Para a função estar definida:
  1. O denominador não pode ser zero.
  2. O que está dentro da raiz quadrada precisa ser positivo (porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real).

Passo 3

Vamos começar analisando a raiz quadrada no denominador: .
Para que a expressão dentro da raiz seja positiva, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a inequação que define o domínio da função.

Passo 4

A inequação representa todos os pontos que estão dentro de um círculo com raio (já que ) e centro na origem . Isso significa que o domínio de é o conjunto de todos os pontos dentro desse círculo.

Passo 5

Para garantir que o denominador não seja zero, devemos verificar o caso em que . Se isso ocorrer, o denominador seria zero e a função não estaria definida. Contudo, já estabelecemos que , então nunca será zero dentro do domínio. Portanto, não precisamos nos preocupar com esse caso adicional.

Passo 6

Agora, vamos fazer um esboço do domínio. Como representa um círculo de raio 2 centrado na origem, o esboço será um círculo vazio (somente a área interna) com raio 2.

Resposta

O conjunto domínio da função é dado por todos os pontos que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde ao interior de um círculo de raio 2 centrado na origem. O esboço desse domínio é um círculo vazio com raio 2 no plano .

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