Determine o conjunto domínio e faça um esboço deste conjunto para cada uma das funções dadas.
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado. Precisamos determinar o conjunto domínio da função
e fazer um esboço desse conjunto. O conteúdo envolvido aqui é funções de duas variáveis e o que precisamos para resolver é entender quais valores de
e
tornam a função válida (ou seja, bem definida).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o domínio de uma função são todos os pares
para os quais a função está definida. No caso de
, temos uma fração e uma raiz quadrada. Para a função estar definida:
- O denominador não pode ser zero.
- O que está dentro da raiz quadrada precisa ser positivo (porque a raiz quadrada de um número negativo não é um número real).
Passo 3
Vamos começar analisando a raiz quadrada no denominador:
.
Para que a expressão dentro da raiz seja positiva, temos:
Isso pode ser reescrito como:
Essa é a inequação que define o domínio da função.
Passo 4
A inequação
representa todos os pontos
que estão dentro de um círculo com raio
(já que
) e centro na origem
. Isso significa que o domínio de
é o conjunto de todos os pontos dentro desse círculo.
Passo 5
Para garantir que o denominador não seja zero, devemos verificar o caso em que
. Se isso ocorrer, o denominador seria zero e a função não estaria definida. Contudo, já estabelecemos que
, então
nunca será zero dentro do domínio. Portanto, não precisamos nos preocupar com esse caso adicional.
Passo 6
Agora, vamos fazer um esboço do domínio. Como
representa um círculo de raio 2 centrado na origem, o esboço será um círculo vazio (somente a área interna) com raio 2.
Resposta
O conjunto domínio da função
é dado por todos os pontos
que satisfazem
. Geometricamente, isso corresponde ao interior de um círculo de raio 2 centrado na origem. O esboço desse domínio é um círculo vazio com raio 2 no plano
.