Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(l)
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(l)
Passo 1
A função dada é
. O conteúdo envolve estudo de domínio, assíntotas, derivadas primeira e segunda, monotonicidade, concavidade e esboço do gráfico. Vamos precisar determinar o domínio, as assíntotas horizontais e verticais, calcular
e
, analisar seus sinais e então montar o esboço.
Passo 2
Antes de derivar, identificamos o domínio e as assíntotas. O denominador não pode ser zero, logo
implica
. Assim Domínio de
é .
Para assíntotas verticais, temos
Para assíntota horizontal, calculamos
logo há assíntota horizontal
.
Passo 3
Agora calculamos a primeira derivada por quociente. Seja
e
. Obtém-se
Como
em todo o domínio, o sinal de
vem de
. Portanto:
-
para , aumentando em e . -
para , decrescendo em e .
O único ponto crítico interno é.
Passo 4
Para a concavidade, derivamos
. Fazendo o cálculo completo (oujetivo), chega-se a
O numerador
sempre, então o sinal de
é o de
:
- Se
, então e , concavidade para cima em e . - Se
, então e , concavidade para baixo em .
Não há pontos de inflexão no domínio, pois as trocas de sinal deocorrem em onde não está definida.
Passo 5
Com todas essas informações, esboçamos o gráfico:
- Domínio em três ramos separados por
. - VA em
, HA em . - Crescente nos intervalos
e , passando por . - Decrescente em
e . - Concavidade para cima fora de
e para baixo dentro de . - Ponto de cruzamento com o eixo
em .
Resposta
Intervalos de crescimento:
e
. Intervalos de decrescimento:
e . Concavidade para cima em
e ; concavidade para baixo em
. Não há pontos de inflexão no domínio. Assíntotas verticais em
e assíntota horizontal em
. Esboço conforme descrito.