Para cada uma das funções abaixo
(1) determine os intervalos de crescimento e decrescimento;
(2) estude a concavidade e pontos de inflexão;
(3) esboce o gráfico, utilizando as técnicas do Cálculo Diferencial.
(l) f(x)=x^2x^2-2

Passo 1

A função dada é f(x)=x^2x^2-2. O conteúdo envolve estudo de domínio, assíntotas, derivadas primeira e segunda, monotonicidade, concavidade e esboço do gráfico. Vamos precisar determinar o domínio, as assíntotas horizontais e verticais, calcular f' e f'', analisar seus sinais e então montar o esboço.

Passo 2

Antes de derivar, identificamos o domínio e as assíntotas. O denominador não pode ser zero, logo x^2-2neq0 implica xneqpmraiz2. Assim Domínio de f é .
Para assíntotas verticais, temos
(-raiz2)cup(-raiz2,raiz2)cup(raiz2,u221e)
Para assíntota horizontal, calculamos
logo há assíntota horizontal VA em x=pmraiz2 .

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada por quociente. Seja N=-4x e D=(x^2-2)^2. Obtém-se
f'(x)=2x(x^2-2)-x^2cdot2x(x^2-2)^2= rac-4x(x^2-2)^2
Como (x^2-2)^2>0 em todo o domínio, o sinal de f' vem de -4x. Portanto:
  • f'(x)>0 para x<0, aumentando em (-, -raiz2) e (-raiz2,0).
  • f'(x)<0 para x>0, decrescendo em (0,raiz2) e .
    O único ponto crítico interno é (raiz2,u221e).

Passo 4

Para a concavidade, derivamos f'. Fazendo o cálculo completo (oujetivo), chega-se a
f''(x)=4(3x^2+2)(x^2-2)^3
O numerador 4(3x^2+2)>0 sempre, então o sinal de f'' é o de (x^2-2)^3:
  • Se |x|>raiz2, então x^2-2>0 e f''(x)>0, concavidade para cima em (-,-raiz2) e .
  • Se (raiz2,u221e), então |x| e x^2-2<0, concavidade para baixo em f''(x)<0.
    Não há pontos de inflexão no domínio, pois as trocas de sinal de (-raiz2,raiz2) ocorrem em f'' onde x=pmraiz2 não está definida.

Passo 5

Com todas essas informações, esboçamos o gráfico:
  • Domínio em três ramos separados por x=pmraiz2.
  • VA em x=pmraiz2, HA em y=1.
  • Crescente nos intervalos (-,-raiz2) e (-raiz2,0), passando por (0,0).
  • Decrescente em (0,raiz2) e .
  • Concavidade para cima fora de (raiz2,u221e) e para baixo dentro de [-raiz2,raiz2].
  • Ponto de cruzamento com o eixo (-raiz2,raiz2)) em y.

Resposta

Intervalos de crescimento: (-,-raiz2) e (-raiz2,0). Intervalos de decrescimento: (0,raiz2) e . Concavidade para cima em (raiz2,u221e) e ; concavidade para baixo em (-,-raiz2). Não há pontos de inflexão no domínio. Assíntotas verticais em (raiz2,u221e) e assíntota horizontal em (-raiz2,raiz2). Esboço conforme descrito.

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