Q. 2(2,0). Verificando se há alguma indeterminação, determine os limites abaixo:
lim x 1 x^3-xx(x-1)^2.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto1x^3 - xx,(x-1)^2
e orienta verificar se há indeterminação. Vamos usar fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Substituindo x=1 no numerador e no denominador, obtemos
1^3 - 1 = 0 e 1cdot(1-1)^2 = 0,
ou seja, indeterminação 0/0. É preciso fatorar o numerador.

Passo 3

Repare que
x^3 - x = x,(x^2 -1) = x,(x-1),(x+1)
Logo, para xneq0,1,
x^3 - xx,(x-1)^2 = x,(x-1),(x+1)x,(x-1)^2 = x+1x-1

Passo 4

Estudamos agora os limites laterais de tfracx+1x-1 quando xto1:
Ao aproximar-se pela esquerda ( xto1^-), o numerador tende a 2 e o denominador a 0^-, então
limxto1^-x+1x-1 = -infty
Ao aproximar-se pela direita ( xto1^+), o denominador tende a 0^+, então
limxto1^+x+1x-1 = +infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes (um vai a -infty e o outro a +infty), o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite não existe. Mais precisamente,
limxto1^-x^3 - xx,(x-1)^2 = -infty, limxto1^+x^3 - xx,(x-1)^2 = +infty

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