Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial.
\frac{d y}{d x}-2 y=e^{3 x} ; y=e^{3 x}+10 e^{2 x};

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função candidata
y(x)=e^{3x}+10e^{2x}
satisfaz a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}-2y = e^{3x}.
Para isso, vamos calcular \frac{dy}{dx} e substituir na expressão \frac{dy}{dx}-2y.

Passo 2

Calculando a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(10e^{2x}\bigr) = 3e^{3x} + 20e^{2x}.

Passo 3

Agora substituímos em \frac{dy}{dx}-2y:
\frac{dy}{dx}-2y = \bigl(3e^{3x} + 20e^{2x}\bigr) - 2\bigl(e^{3x}+10e^{2x}\bigr).
Distribuindo o -2:
\frac{dy}{dx}-2y = 3e^{3x} + 20e^{2x} - 2e^{3x} -20e^{2x} = (3-2)e^{3x} + (20-20)e^{2x} = e^{3x}.

Passo 4

O lado esquerdo da equação torna-se exatamente e^{3x}, que é o lado direito da equação diferencial. Portanto, a função dada satisfaz a ODE.

Resposta

Sim, y=e^{3x}+10e^{2x} é solução de \frac{dy}{dx}-2y = e^{3x}.

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