Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui c denota uma constante real.
y(x)=\left(c^{2}-x^{2}\right)^{1 / 2}, \quad y y^{\prime}+x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
y(x)=\left(c^{2}-x^{2}\right)^{1/2}
e pede que verifiquemos que ela satisfaz a equação diferencial
y\,y'+x=0.
Informações relevantes que recebemos:
  • \,c é uma constante real (logo \,c^2 é constante).
  • A expressão \left(c^{2}-x^{2}\right)^{1/2} só é real quando c^{2}-x^{2}\ge 0, isto é, para |x|\le |c|.
  • A verificação de solução deve ser feita no intervalo onde y(x) é diferenciável (tipicamente |x|<|c|).

Passo 2

Vamos calcular a derivada y'(x) passo a passo usando a regra da cadeia e a regra de potência. Vou explicar essas regras de forma bem direta:
  • Regra de potência (para potências reais): se y = u^{\alpha} com u=u(x) e \alpha constante, então
y' = \alpha\,u^{\alpha-1}\,u'.
  • Regra da cadeia: quando u depende de x, multiplicamos pela derivada u'.
Aqui temos y=(u)^{1/2} com u(x)=c^{2}-x^{2} e \alpha=\tfrac12. Então, aplicando as regras,
y'=\tfrac12\,u^{-1/2}\,u'.

Passo 3

Calcule u'. Como u(x)=c^{2}-x^{2}, a derivada de c^{2} é 0 (constante) e a derivada de -x^{2} é -2x. Logo
u'=-2x.
Substituindo em y'=\tfrac12\,u^{-1/2}\,u' obtemos
y'=\tfrac12\,(c^{2}-x^{2})^{-1/2}\,(-2x).
Simplificando o \tfrac12 com o -2
y'=-x\,(c^{2}-x^{2})^{-1/2}.
Reescrevendo em termos de y (lembre que y=(c^{2}-x^{2})^{1/2}), temos
y'=-\frac{x}{(c^{2}-x^{2})^{1/2}}=-\frac{x}{y}.
Observe que aqui dividimos por y, portanto este passo é válido quando y\neq 0, isto é, quando |x|<|c|.

Passo 4

Agora calcule y\,y' usando a expressão obtida:
y\,y' = y\left(-\frac{x}{y}\right) = -x.
Somando x aos dois lados,
y\,y' + x = -x + x = 0.
Portanto, a equação y\,y' + x = 0 é satisfeita pela função dada, no intervalo onde a derivada está bem definida ( |x|<|c|).

Passo 5

Apresento uma alternativa curta e elegante (útil na prova): partir de y^{2}=c^{2}-x^{2}, que é equivalente à definição de y. Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação a x obtemos
2y\,y' = -2x.
Dividindo por 2 vem
y\,y' + x = 0,
mesma conclusão. A vantagem deste método é que evita dividir por y explicitamente até o final; ainda assim a igualdade vale onde y é diferenciável ( |x|<|c|).

Passo 6

Observações finais importantes para a prova (não esquece!):
  • A verificação é válida no intervalo aberto |x|<|c|, onde y é diferenciável. Nos pontos extremos |x|=|c| temos y=0 e a derivada típica da raiz não é finita, então não se exige validade da equação nesses pontos.
  • A função dada é a raiz principal (não negativa). Se considerássemos a outra folha y(x)=-\left(c^{2}-x^{2}\right)^{1/2}, o mesmo cálculo (ou a diferenciação implícita) mostra que essa também satisfaz y\,y'+x=0 para |x|<|c|.

Resposta

Sim. Para |x|<|c| temos \;y'=-\dfrac{x}{y}\; e portanto \;y\,y'+x=0\;, logo y(x)=\left(c^{2}-x^{2}\right)^{1/2} é solução da equação dada.

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