Verifique que a função dada é uma solução da equação diferencial que está ao seu lado; aqui
denota uma constante real.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que verifiquemos que ela satisfaz a equação diferencial
Informações relevantes que recebemos:
-
é uma constante real (logo é constante). - A expressão
só é real quando , isto é, para . - A verificação de solução deve ser feita no intervalo onde
é diferenciável (tipicamente ).
Passo 2
Vamos calcular a derivada
passo a passo usando a regra da cadeia e a regra de potência. Vou explicar essas regras de forma bem direta:
- Regra de potência (para potências reais): se
com e constante, então
- Regra da cadeia: quando
depende de , multiplicamos pela derivada .
Aqui temos
com
e
. Então, aplicando as regras,
Passo 3
Calcule
. Como
, a derivada de
é
(constante) e a derivada de
é
. Logo
Substituindo em
obtemos
Simplificando o
com o
dá
Reescrevendo em termos de
(lembre que
), temos
Observe que aqui dividimos por
, portanto este passo é válido quando
, isto é, quando
.
Passo 4
Agora calcule
usando a expressão obtida:
Somando
aos dois lados,
Portanto, a equação
é satisfeita pela função dada, no intervalo onde a derivada está bem definida (
).
Passo 5
Apresento uma alternativa curta e elegante (útil na prova): partir de
, que é equivalente à definição de
. Diferenciando implicitamente ambos os lados em relação a
obtemos
Dividindo por
vem
mesma conclusão. A vantagem deste método é que evita dividir por
explicitamente até o final; ainda assim a igualdade vale onde
é diferenciável (
).
Passo 6
Observações finais importantes para a prova (não esquece!):
- A verificação é válida no intervalo aberto
, onde é diferenciável. Nos pontos extremos temos e a derivada típica da raiz não é finita, então não se exige validade da equação nesses pontos. - A função dada é a raiz principal (não negativa). Se considerássemos a outra folha
, o mesmo cálculo (ou a diferenciação implícita) mostra que essa também satisfaz para .
Resposta
Sim. Para
temos
e portanto
, logo
é solução da equação dada.