Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A pergunta é para verificar se a função dada $ y = 5 e^{-2x} + 2x^2 + 2x + 1 $ resolve a equação diferencial $ y’ + 2y = 4(x + 1)^2 $. Basicamente, vamos precisar calcular a derivada de $ y $, substituir $ y $ e $ y’ $ na equação e ver se tudo se iguala. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $, ou seja, $ y’ $. A função $ y $ está composta por termos que envolvem exponenciais e polinômios, então vamos derivar cada parte separadamente.
A derivada de $ 5 e^{-2x} $ em relação a $ x $ é:
A derivada de $ 2x^2 $ é:
A derivada de $ 2x $ é:
E a derivada de $ 1 $ é:
Então, juntando tudo, temos:
Passo 3
Agora que temos $ y’ $, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial original $ y’ + 2y = 4(x + 1)^2 $.
Substituindo $ y’ $:
E substituindo $ 2y $:
Agora, somamos $ y’ + 2y $:
Passo 4
Vamos comparar o resultado obtido com o lado direito da equação diferencial, que é $ 4(x + 1)^2 $.
Calculando $ 4(x + 1)^2 $:
Resposta
Como $ y’ + 2y = 4x^2 + 8x + 4 $ é igual a $ 4(x + 1)^2 = 4x^2 + 8x + 4 $, a função $ y = 5 e^{-2x} + 2x^2 + 2x + 1 $ é realmente uma solução da equação diferencial dada.