Considere o campo de vetores F(x, y, z)=(x-y, x+y, z). Calcule o fluxo de F através da superfície S, orientada com normal n exterior a S, onde
S: x^2+y^2+z^2=a^2, com a>0.

Passo 1

A questão pede o fluxo do campo de vetores vec F(x,y,z)=(x-y,,x+y,,z) através da esfera S:,x^2+y^2+z^2=a^2 orientada para fora; o conteúdo principal aqui é o Teorema da Divergência (ou Gauss), que relaciona o fluxo sobre a superfície ao integral do divergente sobre o volume interno.

Passo 2

Calculamos o divergente de vec F. Lembrando que para vec F=(F1,F2,F3) faz-se nablacdotvec F=partial F1/partial x+partial F2/partial y+partial F3/partial z. Aqui temos
nablacdotvec F=partialpartial x(x-y)+partialpartial y(x+y)+partialpartial z(z)=1+1+1=3

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é dado por
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS=integral triplaV(nablacdotvec F),dV,
onde V é a bola de raio a. Substituindo nablacdotvec F=3,
integral triplaV3,dV=3cdotVol(V)=3cdot43pi a^3=4pi a^3

Resposta

4pi a^3

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