Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função $ y = a \cos(\pi x) + b \sin(\pi x) $ resolve a equação diferencial $ y’’ + \pi^{2} y = 0 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, onde precisamos encontrar se uma função proposta satisfaz a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $. Lembra que a derivada de $ \cos(\pi x) $ é $ -\pi \sin(\pi x) $ e a derivada de $ \sin(\pi x) $ é $ \pi \cos(\pi x) $.
Então, a primeira derivada de $ y $ é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ y $, ou seja, $ y’’ $. Diferenciando $ y’ $ novamente:
Passo 4
Com $ y’’ $ calculado, vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
Passo 5
Agora, distribua o $ \pi^{2} $ na segunda parte da expressão:
Passo 6
Observe que os termos se cancelam:
Resposta
Como $ y’’ + \pi^{2} y = 0 $, a função $ y = a \cos(\pi x) + b \sin(\pi x) $ é realmente uma solução da equação diferencial dada.