Verifique se a função dada (y) é uma solução da equação diferencial.
y^prime prime+pi^2 y=0, y=a cos (pi x)+b sen(pi x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se a função $ y = a \cos(\pi x) + b \sin(\pi x) $ resolve a equação diferencial $ y’’ + \pi^{2} y = 0 $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, onde precisamos encontrar se uma função proposta satisfaz a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de $ y $. Lembra que a derivada de $ \cos(\pi x) $ é $ -\pi \sin(\pi x) $ e a derivada de $ \sin(\pi x) $ é $ \pi \cos(\pi x) $.
Então, a primeira derivada de $ y $ é:
y

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de $ y $, ou seja, $ y’’ $. Diferenciando $ y’ $ novamente:
y

Passo 4

Com $ y’’ $ calculado, vamos substituir $ y $ e $ y’’ $ na equação diferencial original:
y''

Passo 5

Agora, distribua o $ \pi^{2} $ na segunda parte da expressão:
pi^2

Passo 6

Observe que os termos se cancelam:
(-a pi^2 cos(pi x) + a pi^2 cos(pi x)) + (-b pi^2 sin(pi x) + b pi^2 sin(pi x)) = 0

Resposta

Como $ y’’ + \pi^{2} y = 0 $, a função $ y = a \cos(\pi x) + b \sin(\pi x) $ é realmente uma solução da equação diferencial dada.

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