verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes).
y^{\prime \prime}+25 y=0 ; y=c_{1} \cos 5 x + c_{2} \operatorname{sen} 5x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
y = c_{1}\cos5x + c_{2}\sin5x
é solução da equação diferencial
y'' + 25\,y = 0.
Vamos usar cálculo de derivadas (regra da cadeia) e, em seguida, substituir na equação para checar se obtemos zero.

Passo 2

Aplicando derivada em \,y=c_{1}\cos5x+c_{2}\sin5x e usando regra da cadeia, temos
y' = -5\,c_{1}\sin5x + 5\,c_{2}\cos5x
e derivando de novo,
y'' = -25\,c_{1}\cos5x - 25\,c_{2}\sin5x.

Passo 3

Substituindo \,y e \,y'' em \,y''+25y obtemos
y'' + 25\,y = \bigl(-25\,c_{1}\cos5x -25\,c_{2}\sin5x\bigr) +25\bigl(c_{1}\cos5x + c_{2}\sin5x\bigr) = 0.
Isso mostra que a expressão se anula para todo x.

Resposta

A função y=c_{1}\cos5x + c_{2}\sin5x satisfaz identicamente y''+25y=0, logo é solução da equação diferencial.

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