Questão 3 ( 3,0 pontos) Considere a transformação linear
dada por
.
a) Determine uma base e dimensão do
.
b) Determine uma base e dimensão da
.
a) Determine uma base e dimensão do
b) Determine uma base e dimensão da
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
Vamos determinar a base e a dimensão de
e de
.
Passo 2
Seja
Então
logo
Passo 3
Para
precisamos de
, isto é, os coeficientes de
devem ser nulos:
Dessas equações segue
, depois
e então
. Assim
.
Passo 4
Concluímos que
. Portanto
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (nulidade–posto) em espaços de dimensão
,
Logo
tem dimensão máxima em
, isto é,
.
Passo 6
Uma base de
pode ser obtida calculando-se
que são três polinômios de graus
respectivamente e, portanto, linearmente independentes e geradores de
.
Resposta
a)
,
, base vazia.
b) ,
, por exemplo com base
.
b)