Questão 3 ( 3,0 pontos) Considere a transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \longrightarrow P_{2}(\mathbb{R}) dada por T(p(t))=p^{\prime}(t)-2 p(t).
a) Determine uma base e dimensão do \operatorname{Ker}(T).
b) Determine uma base e dimensão da \operatorname{Im}(T).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to P_{2}(\mathbb{R}),\quad T\bigl(p(t)\bigr)=p'(t)-2\,p(t).
Vamos determinar a base e a dimensão de \ker(T) e de \Im(T).

Passo 2

Seja
p(t)=a + b\,t + c\,t^2,\quad a,b,c\in\mathbb{R}.
Então
p'(t)=b + 2c\,t,
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T\bigl(p(t)\bigr) = p'(t)-2\,p(t) = (b+2c\,t)-2(a + b\,t + c\,t^2)
= (-2a + b)\;+\;(2c-2b)\,t\;-\;2c\,t^2.

Passo 3

Para p\in\ker(T) precisamos de T(p)=0, isto é, os coeficientes de 1,t,t^2 devem ser nulos:
-2a + b = 0, \quad 2c - 2b = 0, \quad -2c = 0.
Dessas equações segue c=0, depois b=2a e então a=0. Assim a=b=c=0.

Passo 4

Concluímos que \ker(T)=\{0\}. Portanto
\dim\bigl(\ker(T)\bigr)=0 \quad\text{e uma base é a base vazia.}é

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (nulidade–posto) em espaços de dimensão 3,
\dim\bigl(\Im(T)\bigr) = \dim\bigl(P_{2}(\mathbb{R})\bigr)-\dim\bigl(\ker(T)\bigr) = 3-0=3.
Logo \Im(T) tem dimensão máxima em P_2(\mathbb R), isto é, \Im(T)=P_2(\mathbb R).

Passo 6

Uma base de \Im(T) pode ser obtida calculando-se
T(1)=-2,\quad T(t)=1-2t,\quad T(t^2)=2t-2t^2,
que são três polinômios de graus 0,1,2 respectivamente e, portanto, linearmente independentes e geradores de P_2.

Resposta

a) \ker(T)=\{0\}, \dim\ker(T)=0, base vazia.
b) \Im(T)=P_2(\mathbb R), \dim\Im(T)=3, por exemplo com base \{-2,\;1-2t,\;2t-2t^2\}.

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