Questão 4 ( 2,0 pontos)
Considere a função vetorial
e seja o círculo centrado na origem, que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por . Encontre uma parametrização de .
Passo 1
O enunciado nos dá a reta parametrizada por
e afirma que existe um círculo de centro na origem tangenciado por essa reta. Nosso objetivo é achar uma parametrização de . Vamos usar geometria analítica: converter a reta em forma cartesiana, calcular a distância do centro (origem) à reta (que será o raio do círculo) e, em seguida, dar a forma paramétrica do círculo.
Passo 2
Obtemos a equação cartesiana da reta. Note que o vetor diretor é , logo um vetor normal é . Usando o ponto pertencente à reta, a forma normal é
que expande para
Passo 3
A distância da origem até a reta é
Esse valor é o raio R do círculo C.
Passo 4
A equação cartesiana da circunferência C com centro na origem e raio R=raiz5 é
x^2+y^2=5
Passo 5
Uma parametrização padrão de x^2+y^2=5 é
rC(t) = l(raiz5cos t,;raiz5sin tr),
com tin[0,2pi). Essa curva descreve todo o círculo de raio raiz5 centrado na origem.