Questão 4 ( 2,0 pontos)
Considere a função vetorial
r: lambda in R longmapsto(1+2 lambda,-2+lambda) in R^2
e seja C o círculo centrado na origem, que é tangenciado em algum dos seus pontos pela reta parametrizada por r. Encontre uma parametrização de C.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta parametrizada por
r(lambda) = (1+2lambda,,-2+lambda)
e afirma que existe um círculo C de centro na origem tangenciado por essa reta. Nosso objetivo é achar uma parametrização de C. Vamos usar geometria analítica: converter a reta em forma cartesiana, calcular a distância do centro (origem) à reta (que será o raio do círculo) e, em seguida, dar a forma paramétrica do círculo.

Passo 2

Obtemos a equação cartesiana da reta. Note que o vetor diretor é (2,1), logo um vetor normal é (1,-2). Usando o ponto (1,-2) pertencente à reta, a forma normal é
(1,-2)cdotl((x,y)-(1,-2)r)=0
que expande para
x-1 ;-;2(y+2)=0 Longrightarrow x-2y-5=0

Passo 3

A distância da origem (0,0) até a reta x-2y-5=0 é
l|0-2cdot0-5r|raiz1^2+(-2)^2 =5raiz5 =raiz5
Esse valor é o raio R do círculo C.

Passo 4

A equação cartesiana da circunferência C com centro na origem e raio R=raiz5 é
x^2+y^2=5

Passo 5

Uma parametrização padrão de x^2+y^2=5 é
rC(t) = l(raiz5cos t,;raiz5sin tr),
com tin[0,2pi). Essa curva descreve todo o círculo de raio raiz5 centrado na origem.

Resposta

rC(t) = l(raiz5cos t,;raiz5sin tr), tin[0,2pi)

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