Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial y^prime+2 x y=1 ; y=e^-x^2 integral0^x e^t^2 d t+k cdot e^-x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial de primeira ordem y' + 2xy = 1. O conteúdo principal é o cálculo de derivada usando regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar a integral.

Passo 2

Definimos I(x)=integral0^xe^t^2,dt, de modo que a solução proposta fica y(x)=e^-x^2I(x)+k,e^-x^2.

Passo 3

Vamos calcular a derivada y' em duas partes. Primeiro, usando regra do produto para e^-x^2I(x):
$$\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}I(x)\bigr)=e{-x{2}},I’(x)+I(x),\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}\bigr).
$$

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos I'(x)=e^x^2, e ddx(e^-x^2)=-2x,e^-x^2. Assim
$$\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}I(x)\bigr)=e{-x{2}}e{x{2}}-2x,e{-x{2}}I(x)=1-2x,e{-x{2}}I(x).
$$

Passo 5

Agora derivamos k,e^-x^2:
$$\frac{d}{dx}\bigl(k,e{-x{2}}\bigr)=k,(-2x)e{-x{2}}=-2x,k,e{-x{2}}.
$$

Passo 6

Somando as duas partes obtemos
y'=1-2x,e^-x^2I(x)-2x,k,e^-x^2=1-2xl(e^-x^2I(x)+k,e^-x^2r)

Passo 7

Reconhecendo que e^-x^2I(x)+k,e^-x^2=y(x), vemos que
y'=1-2x,y(x)Longrightarrow y'+2xy=1

Resposta

De fato, substituindo a função proposta na equação diferencial obtém-se y'+2xy=1, logo ela é solução geral da equação.

Exercícios relacionados