Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função dada é solução da equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo principal é o cálculo de derivada usando regra do produto e o Teorema Fundamental do Cálculo para derivar a integral.
Passo 2
Definimos
, de modo que a solução proposta fica
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada
em duas partes. Primeiro, usando regra do produto para
:
$$\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}I(x)\bigr)=e{-x{2}},I’(x)+I(x),\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}\bigr).
$$
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
, e
. Assim
$$\frac{d}{dx}\bigl(e{-x{2}}I(x)\bigr)=e{-x{2}}e{x{2}}-2x,e{-x{2}}I(x)=1-2x,e{-x{2}}I(x).
$$
Passo 5
Agora derivamos
:
$$\frac{d}{dx}\bigl(k,e{-x{2}}\bigr)=k,(-2x)e{-x{2}}=-2x,k,e{-x{2}}.
$$
Passo 6
Somando as duas partes obtemos
Passo 7
Reconhecendo que
, vemos que
Resposta
De fato, substituindo a função proposta na equação diferencial obtém-se
, logo ela é solução geral da equação.