Seja F(t)=f(e^t^2, sin t), onde f(x, y) é uma função dada, diferenciável em R^2.
Expresse F^prime(t) em termos das derivadas parciais de f;

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a função F(t)=f(e^t^2,sin t). O conteúdo é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de f(x,y) e das derivadas de cada argumento x(t)=e^t^2 e y(t)=sin t.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
x(t)=e^t^2 e y(t)=sin t. Agora calculamos as derivadas:
x'(t)=ddte^t^2=2t,e^t^2
e
y'(t)=ddtsin t=cos t.

Passo 3

Aplique a regra da cadeia para F(t)=f(x(t),y(t)). Em termos de derivadas parciais, temos
F'(t)=partial fpartial x(x(t),y(t)),x'(t)+partial fpartial y(x(t),y(t)),y'(t)

Passo 4

Agora substituímos x(t)=e^t^2, y(t)=sin t, x'(t)=2t,e^t^2 e y'(t)=cos t na fórmula acima para chegar na expressão final.

Resposta

F'(t)=partial fpartial x(e^t^2,sin t)cdot 2t,e^t^2+partial fpartial y(e^t^2,sin t)cdotcos t

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