Encontre a derivada direcional da função f(x, y)=x^2 e^y-1+y^2 e^x-1 no ponto P(1,1) na direção do vetor u=(-12, raiz32).

Passo 1

Neste problema, temos a função f(x,y)=x^2 e^y-1 + y^2 e^x-1. O objetivo é encontrar a derivada direcional em P(1,1) na direção do vetor unitário u =(-tfrac12, tfracraiz32). O conteúdo principal é derivada direcional e gradiente; precisaremos calcular nabla f e projetá-lo em u.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. A derivada em relação a x é
partial fpartial x = 2x e^y-1 + y^2 e^x-1
e a derivada em relação a y é
partial fpartial y = x^2 e^y-1 + 2y e^x-1

Passo 3

Substituímos (x,y)=(1,1) nas derivadas parciais. Logo,
partial fpartial x(1,1) = 2cdot1cdot e^0 + 1^2cdot e^0 = 2 + 1 = 3,
partial fpartial y(1,1) = 1^2cdot e^0 + 2cdot1cdot e^0 = 1 + 2 = 3
Assim, nabla f(1,1) = (3,3).

Passo 4

Verificamos que u já é vetor unitário, pois
(-tfrac12)^2 + (tfracraiz32)^2 = tfrac14 + tfrac34 = 1
A derivada direcional é nabla f(1,1) cdot u.

Passo 5

Fazendo o produto escalar, obtemos
nabla f(1,1) cdot u = (3,3)cdotl(-tfrac12,tfracraiz32r) = -tfrac32 + tfrac3raiz32 = tfrac3(raiz3 -1)2

Resposta

dfrac3(raiz3-1)2

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