Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
b) ly^prime=2 y+t^2 y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y(t)=integral0^te^2(t-s)s^2,ds satisfaz o problema de valor inicial
y'=2y+t^2, y(0)=0
Vamos usar a definição de derivada de uma integral com limite variável (regra de Leibniz) e avaliar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro, avaliamos y(0). Como os limites da integral coincidem,
y(0)=integral0^0e^2(0-s)s^2,ds=0,
logo y(0)=0, que bate com a condição inicial.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de Leibniz para derivar y(t)=integral0^tf(t,s),ds com f(t,s)=e^2(t-s)s^2. A regra diz:
ddtintegral0^tf(t,s),ds=integral0^tpartial fpartial t(t,s),ds+f(t,t)
Aqui
partial fpartial t(t,s)=2e^2(t-s)s^2
e
f(t,t)=e^2(t-t)t^2=t^2
Logo,
y'(t)=integral0^t2e^2(t-s)s^2,ds+t^2=2integral0^te^2(t-s)s^2,ds+t^2=2y(t)+t^2

Passo 4

Como verificamos y(0)=0 e y'(t)=2y(t)+t^2, concluímos que y(t) é de fato solução do PVI dado.

Resposta

A função y(t)=integral0^te^2(t-s)s^2,ds satisfaz y(0)=0 e y'(t)=2y(t)+t^2, portanto é solução do problema de valor inicial.

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