Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas
, onde
é o sólido limitado por
e
.
R.:
R.:
Passo 1
Estamos calculando o volume
de um sólido
limitado pelas superfícies
(semiesfera de raio 1) e
(cono com vértice em
). O conteúdo principal é usar coordenadas cilíndricas, converter as equações e montar a integral tripla com o fator jacobiano.
Passo 2
Passamos para coordenadas cilíndricas:
,
,
. A semiesfera fica
e o cone é
, ou seja
. A interseção
leva a
ou
, então
e
. Para cada
,
varia de
até
.
A integral em coordenadas cilíndricas fica
A integral em coordenadas cilíndricas fica
onde
é o jacobiano. Integramos primeiro em
:
Passo 3
Logo o volume é
Agora separamos em três integrais:
Passo 4
Para
fazemos a substituição
,
:
Calculamos as outras diretamente:
Somando:
Multiplicando por
resulta no volume
.