Calcule as integrais utilizando coordenadas cilíndricas
integral triplaW d V, onde W é o sólido limitado por z=raiz1-x^2-y^2 e z+1=raizx^2+y^2.
R.: pi

Passo 1

Estamos calculando o volume integral triplaW dV de um sólido W limitado pelas superfícies z=raiz1 - x^2 - y^2 (semiesfera de raio 1) e z+1=raizx^2 + y^2 (cono com vértice em (0,0,-1)). O conteúdo principal é usar coordenadas cilíndricas, converter as equações e montar a integral tripla com o fator jacobiano.

Passo 2

Passamos para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. A semiesfera fica z=raiz1 - r^2 e o cone é raizr^2=z+1, ou seja z=r-1. A interseção r-1=raiz1 - r^2 leva a r=0 ou r=1, então rin[0,1] e thetain[0,2pi]. Para cada r,theta, z varia de z=r-1 até z=raiz1 - r^2.
A integral em coordenadas cilíndricas fica
integral0^2pi!!integral0^1!!integralr-1^raiz1 - r^2 r,dz,dr,dtheta
onde r é o jacobiano. Integramos primeiro em z:
integralr-1^raiz1 - r^2 r,dz = rl(raiz1 - r^2 - (r-1)r) = rraiz1 - r^2 - r^2 + r

Passo 3

Logo o volume é
2pi integral0^1 l(rraiz1 - r^2 - r^2 + rr) dr
Agora separamos em três integrais:
I1=integral0^1 rraiz1 - r^2,dr, I2=integral0^1 (-r^2),dr, I3=integral0^1 r,dr

Passo 4

Para I1 fazemos a substituição u=1-r^2, du=-2r,dr:
I1 = -tfrac12 integral1^0 u^1/2,du = tfrac13 l(1 - 0r) = tfrac13
Calculamos as outras diretamente:
I2 = -tfrac13, I3 = tfrac12
Somando:
I1 + I2 + I3 = tfrac13 - tfrac13 + tfrac12 = tfrac12
Multiplicando por 2pi resulta no volume pi.

Resposta

pi

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